4北海道大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$z=x+iy$ とおく。両辺は非負なので、絶対値の等式はその両辺を平方しても同値である。

$$a^2\{(x-1)^2+y^2\}=\{(a-2)x+a\}^2+(a-2)^2y^2.$$ 左辺から右辺を引いて整理すると $$4(a-1)(x^2+y^2-ax)=0.$$ (1) では $a\ne1$ だから $$\displaystyle x^2+y^2=ax \quad\text{すなわち}\quad \left(x-\frac a2\right)^2+y^2=\left(\frac a2\right)^2.$$ したがって求める軌跡は、複素数平面上で実軸上の点 $(a/2,0)$ を中心とし、半径 $a/2$ をもつ円である。

(2) まず $a=1$ では第2式は $$|z-1|=|-z+1|=|z-1|$$ となり、すべての $z$ がこれを満たす。第1式 $|z|^2=5$ を満たす複素数（例えば $z=\sqrt5$）が存在するので、$a=1$ は適する。

次に $a\ne1$ とする。(1) より $|z|^2=ax$ である。第1式から $$\displaystyle x=\frac{6-a}{a},\qquad y^2=|z|^2-x^2 =(6-a)-\left(\frac{6-a}{a}\right)^2 =\frac{(6-a)(a+3)(a-2)}{a^2}.$$ $a>0$ であり、$|z|^2=6-a$ には $a\le6$ が必要である。この条件のもとで右辺が非負となるのは $a\ge2$ のときである。逆に $2\le a\le6$ ならこの $x$ と実数 $y$（上式で定まる $y^2\ge0$）を取れるので条件を満たす $z=x+iy$ が存在する。以上より $$a=1\quad\text{または}\quad2\le a\le6.$$

座標を a/2 で規格化した図。中心(a/2,0)、半径a/2の円周。