北海道大学 2025年数学第3問解答・解説

積分法極限

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1問題

北海道大学2025年度第3問

実数 $a$ および自然数 $n$ に対して，定積分

$\displaystyle I (a, n) = \int_ {0} ^ {2 \pi} e ^ {a x} \sin (n x) d x$

を考える。ここで e は自然対数の底である。

(1) $I(a, n)$ を求めよ。

(2) $\displaystyle a_{n} = \frac{\log n}{2\pi} (n = 1, 2, 3, \cdots)$ のとき，極限 $\displaystyle \lim\limits _{n \to \infty} I(a_{n}, n)$ を求めよ。ただし， $\log n$ は n の自然対数である。また，必要ならば $\displaystyle \lim\limits _{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0$ であることを用いてもよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle I(a,n)=\frac{n(1-e^{2\pi a})}{a^2+n^2}$ 。 (2) 極限 $-1$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle J=\int_0^{2\pi}e^{ax}\cos(nx)dx$ とおく。部分積分より $\displaystyle I(a,n)=\frac{1-e^{2\pi a}}n+\frac an J, \qquad J=-\frac an I(a,n),$ ここではnが自然数なので $\sin(2\pi n)=0,\cos(2\pi n)=1$ 。連立して $\displaystyle I(a,n)=\frac{n(1-e^{2\pi a})}{a^2+n^2}.$

$a_n=(\log n)/(2\pi)$ なら $e^{2\pi a_n}=n$ 。従って $\displaystyle I(a_n,n)=\frac{n(1-n)}{n^2+(\log n)^2/(4\pi^2)} =\frac{1/n-1}{1+(\log n/(2\pi n))^2}.$ 問題文で与えられた $\log n/n\to0$ から分子は−1、分母は1に収束し、極限は−1。

この問題で使う考え方

部分積分の連立
指数対数の代入
極限の正規化

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