1大阪公立大学 2025年 数学 第1問解答・解説

大阪公立大学 2025年度 数学 第1問

問1

$0\leq x\leq\pi/2$ では $\cos x\geq0$ であり、$\sin2x=2\sin x\cos x$ だから $$|a\cos x-k\sin2x|=\cos x\,|a-2k\sin x|.$$ $t=\sin x$ と置換すると $dt=\cos x\,dx$、積分区間は $0\leq t\leq1$ となる。$0<a<2$、$k\geq1$ より $c=a/(2k)$ は $0<c<1$ なので、絶対値の中身は $t=c$ で符号が変わる。 $$\displaystyle \begin{aligned} I_k&=\int_0^{c}(a-2kt)\,dt+\int_c^1(2kt-a)\,dt\\ &=(ac-kc^2)+\{k-kc^2-a+ac\}\\ &=\boxed{k-a+\frac{a^2}{2k}}. \end{aligned}$$

問2

$x\mapsto1/x$ は正の範囲で減少するので、各整数 $m=1,\ldots,n-1$ について $$\displaystyle \frac1{m+1}<\int_m^{m+1}\frac{dx}{x}<\frac1m.$$ 区間を足し合わせると $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{k=2}^{n}\frac1k<\log n<\sum\limits _{k=1}^{n-1}\frac1k}.$$ 不等号は各小区間で関数が真に減少するため厳密である。

問3

$\displaystyle H_n=\sum\limits _{k=1}^n1/k$ とおく。問2より $$\log n<H_n<1+\log n,$$ 従って $H_n/\log n\to1$ であり、特に $H_n/n^2\to0$。問1の結果から $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}I_k =\sum\limits _{k=1}^n\left(k-a+\frac{a^2}{2k}\right) =\frac{n(n+1)}2-an+\frac{a^2}{2}H_n.$$ 従って $$\displaystyle J_n=\frac{(b+\frac12)n^2+(\frac12-a)n+\frac{a^2}{2}H_n}{\log n}.$$ 数列 $J_n$ が収束すれば有界であるから、仮定された $n/\log n\to\infty$ により $\log n/n^2\to0$ を用いて $$\displaystyle \frac{J_n\log n}{n^2} =b+\frac12+\frac{\frac12-a}{n}+\frac{a^2H_n}{2n^2}\longrightarrow0.$$ 右辺の極限は $\displaystyle b+\frac12$ でもあるので $$\displaystyle b=-\frac12.$$ この値を戻すと $$\displaystyle J_n=\left(\frac12-a\right)\frac{n}{\log n} +\frac{a^2}{2}\frac{H_n}{\log n}.$$ 第2項は有限値 $a^2/2$ に収束する。一方、$n/\log n\to\infty$ なので、第1項を含む全体が収束するためには $\displaystyle \frac12-a=0$ が必要である。従って $$\displaystyle \boxed{a=\frac12,\qquad b=-\frac12}.$$ このとき $$\displaystyle J_n=\frac18\frac{H_n}{\log n}\longrightarrow\boxed{\frac18}.$$ また $a=1/2$ は条件 $0<a<2$ を満たす。

**使用解法:** 三角置換で絶対値積分を一次式の面積に直す。単調関数の定積分による調和和の評価を用い、二次項・一次項の係数を収束条件から順に決める。

**issues:** なし。