4大阪公立大学 2025年 数学 第4問解答・解説

大阪公立大学 2025年度 数学 第4問

問1

直線 $PQ$ の方程式を $$\displaystyle x\cos\frac\alpha2+y\sin\frac\alpha2=\cos\frac\alpha2$$ とする。点 $P(1,0)$ はこの式を満たし、点 $Q(\cos\alpha,\sin\alpha)$ についても $$\displaystyle \cos\alpha\cos\frac\alpha2+\sin\alpha\sin\frac\alpha2 =\cos\left(\alpha-\frac\alpha2\right)=\cos\frac\alpha2$$ となるので、確かに直線 $PQ$ の式である。係数から原点とこの直線の距離は $$\displaystyle \frac{\left|\cos\frac\alpha2\right|} {\sqrt{\cos^2\frac\alpha2+\sin^2\frac\alpha2}} =\boxed{\cos\frac\alpha2},$$ ここで $0<\alpha<\pi$ より $\cos(\alpha/2)>0$。

問2

積和公式により $$\displaystyle \begin{aligned} f(\theta)\cos\left(\theta-\frac\alpha2\right) &=2\cos\theta\cos\left(\theta-\frac\alpha2\right) -\cos\left(\theta-\frac\alpha2\right)\\ &=\cos\left(2\theta-\frac\alpha2\right) +\cos\frac\alpha2-\cos\left(\theta-\frac\alpha2\right)\\ &=\cos\frac\alpha2 -2\sin\frac\theta2\sin\frac{3\theta-\alpha}{2}. \end{aligned}$$ 最後は $\displaystyle \cos U-\cos V=-2\sin\frac{U+V}{2}\sin\frac{U-V}{2}$ に $\displaystyle U=2\theta-\frac\alpha2$、$\displaystyle V=\theta-\frac\alpha2$ を代入した。

問3

$\displaystyle 0<t<\frac\pi3$ では $\displaystyle \cos t>\frac12$ なので $f(t)=2\cos t-1>0$。曲線上の点は $$(x,y)=f(t)(\cos t,\sin t)$$ であり、その原点からの距離は正、偏角は $t$ である。

問1の直線方程式にこの座標を代入すると、共有点となる条件は $$\displaystyle f(t)\cos\left(t-\frac\alpha2\right)=\cos\frac\alpha2.$$ 問2の恒等式によってこれは $$\displaystyle \sin\frac t2\,\sin\frac{3t-\alpha}{2}=0$$ と同値。$\displaystyle 0<t<\frac\pi3$ より $0<t/2<\pi/6$ なので $\sin(t/2)>0$。また $0<3t<\pi$、$0<\alpha<\pi$ から $$\displaystyle -\frac\pi2<\frac{3t-\alpha}{2}<\frac\pi2.$$ この範囲で第2の正弦が0になるのは $(3t-\alpha)/2=0$ のときだけであり、$t=\alpha/3$。さらに $0<\alpha<\pi$ なので $0<\alpha/3<\pi/3$。従って許される媒介変数はただ1つで、直線と曲線は1点のみを共有する。

共有点 $R$ では偏角が $t=\alpha/3$ である。$OP$ は正の $x$ 軸方向であり $R$ の偏角はこの範囲にあるから $$\displaystyle \boxed{\angle POR=\frac\alpha3}.$$

**使用解法:** 直線の法線ベクトルによる距離、積和公式、極座標的な媒介表示と三角関数の零点範囲。

**issues:** なし。