3大阪公立大学 2025年 数学 第3問解答・解説

大阪公立大学 2025年度 数学 第3問

$d_2$ は $N$ の最小の正の約数のうち1より大きいものなので、素数である。実際、もし合成数なら、その素因数も $N$ の1より大きく $d_2$ より小さい約数となり、最小性に反する。

問1

$x=a-2$、$y=b-2$、$z=c+2$ とおくと、条件は正整数について $$x<y,\qquad z>y+4,\qquad xyz=2^6$$ となる。積が2のべきなので $x=2^r,y=2^s,z=2^u$（$r,s,u$ は0以上の整数）と書け、$r<s$、$r+s+u=6$ である。

- $r=0$ のとき、$s=1,2,3,4,5$ を調べると、$(s,u)=(1,5),(2,4)$ の場合だけ $2^u>2^s+4$ を満たす。これらは $(x,y,z)=(1,2,32),(1,4,16)$。$s=3$ では $8\not>12$、$s\geq4$ では $u<s$ なので条件を満たさない。 - $r=1$ のとき $s\geq2$、$u=5-s$。$s=2$ では $2^u=8=2^s+4$ となり、$s\geq3$ では $2^u\leq4<2^s+4$。いずれも不可。 - $r\geq2$ のとき $s\geq3$、$u=6-r-s\leq1$ なので $2^u\leq2<2^s+4$。不可。

従って $(a,b,c)=(x+2,y+2,z-2)$ は $$\boxed{(3,4,30),\quad(3,6,14)}$$ の2組である。

問2

背理法で $d_2=2$ とする。与えられた条件は $$(d_3-2)(d_4-2)(d_5+2)=64$$ であり、$2<d_3<d_4<d_5$ だから問1より $$(d_3,d_4,d_5)=(3,4,30)\quad\text{または}\quad(3,6,14).$$ 前者なら $2,3\mid N$ より $6\mid N$ である。ところが $4<6<30=d_5$ なので、6は第5番目の約数より前に現れ、矛盾する。後者なら $14\mid N$ より $7\mid N$ であるが、$6=d_4<7<14=d_5$ となり、やはり矛盾する。従って $$\boxed{d_2\ne2}.$$

問3

問2より素数 $p=d_2$ は奇数であり、$N$ も奇数である。よって全ての約数 $d_i$ は奇数。そこで $$\displaystyle x=\frac{d_3-p}{2},\qquad y=\frac{d_4-p}{2},\qquad z=\frac{d_5+p}{2}$$ とおくと、$x,y,z$ は正整数で、$d_3<d_4<d_5$ と $p>0$ から $x<y<z$。与えられた積の条件を8で割ると $$xyz=p^3.$$ $p$ は素数なので、$x,y,z$ はそれぞれ $p$ の0以上の整数乗である。指数を小さい順に並べると、3個の相異なる非負整数の和が3となるので、指数は $0,1,2$。従って $x=1,y=p,z=p^2$、特に $$d_4=p+2y=3p.$$ $d_4\mid N$ だから $3\mid N$。もし $p>3$ なら、3は $1<3<p=d_2$ を満たす $N$ の約数となり、$d_2$ の最小性に反する。奇素数 $p$ は3以上なので $$\boxed{d_2=p=3}.$$

問4

問3で得た $x=1,y=p,z=p^2$ に $p=3$ を代入すると $$d_3=p+2x=5,\qquad d_4=p+2y=9, \qquad d_5+p=2z=18.$$ 従って $$\boxed{d_3=5,\quad d_4=9,\quad d_5=15}.$$

**使用解法:** 素因数分解による指数の分類、問1の整数解を用いた場合分け、約数の順序と最小性による矛盾。

**issues:** なし。