1京都府立医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $m^2$ を $5$ で割った余りは $0,1,4$ のいずれかである。したがって $$2m^2+19\equiv 2m^2+4\equiv 4,1,2\pmod 5$$ のいずれかとなり、余りは $0$ にならない。よって $2m^2+19$ は $5$ の倍数ではない。

(2) 左辺を展開すると $$(2m^2+19)(7n+5)=14m^2n+10m^2+133n+95.$$ 等式 $(E)$ を用いれば、これは $70k+45+95=70(k+2)$ に等しい。よって $70$ の倍数である。

(3) (2)の恒等式より、$(E)$ を満たすことと $$(2m^2+19)(7n+5)=70(k+2)$$ とは同値である。積が $70$ の倍数である。 (1)より $2m^2+19$ は $5$ の倍数でないから、$7n+5$ は $5$ の倍数である。よって $n\equiv0\pmod5$。また $2m^2+19$ は奇数なので、積が偶数となるには $7n+5$ が偶数でなければならず、$n$ は奇数である。したがって $n=10r+5$（$r$ は $0$ 以上の整数）と書ける。

さらに $7n+5\equiv5\pmod7$ なのでこれは $7$ の倍数ではない。ゆえに $2m^2+19$ が $7$ の倍数であり、 $$2m^2+19\equiv 2m^2+5\equiv0\pmod7$$ から $m^2\equiv1\pmod7$、すなわち $m\equiv\pm1\pmod7$ である。

$k\le50$ より積は $70(k+2)\le3640$。一方 $n\ge5$ だから $7n+5\ge40$ であり、$2m^2+19\ge21$ である。よって $2m^2+19\le3640/40=91$、したがって $m\le6$。条件 $m\equiv\pm1\pmod7$ を満たす正の整数は $m=1,6$ だけである。

$n=10r+5$ とすると $7n+5=70r+40=10(7r+4)$ である。$m=1$ のとき $$\displaystyle k+2=\frac{21\cdot10(7r+4)}{70}=21r+12,$$ したがって $k=21r+10$。条件 $k\le50$ より $r=0,1$ で、$(n,k)=(5,10),(15,31)$。$m=6$ のとき $$\displaystyle k+2=\frac{91\cdot10(7r+4)}{70}=91r+52,$$ ゆえに $k=91r+50$ となり、$k\le50$ から $r=0$ のみである。このとき $(n,k)=(5,50)$。以上の候補はいずれも積が $70(k+2)$ となるため $(E)$ を満たす。