2京都府立医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$\mathbf a=\overrightarrow{CA},\ \mathbf b=\overrightarrow{CB},\ \mathbf d=\overrightarrow{CD}$ とおくと、$|\mathbf a|^2=5$, $|\mathbf b|^2=4$, $|\mathbf d|^2=x^2$ である。また、$\overrightarrow{DA}=\mathbf a-\mathbf d$, $\overrightarrow{DB}=\mathbf b-\mathbf d$ である。

(1) 条件 $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ を展開すると $$(\mathbf a-\mathbf d)\cdot(\mathbf b-\mathbf d)=\mathbf a\cdot\mathbf b \quad\text{したがって}\quad \mathbf a\cdot\mathbf d+\mathbf b\cdot\mathbf d=x^2.$$ 一方、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ より $(\mathbf b-\mathbf a)\cdot\mathbf d=0$、したがって $\mathbf a\cdot\mathbf d=\mathbf b\cdot\mathbf d$ である。よって両方とも $x^2/2$ となるから $$\displaystyle |\overrightarrow{DA}|^2=|\mathbf a-\mathbf d|^2=5+x^2-2\frac{x^2}{2}=5, \qquad |\overrightarrow{DB}|^2=|\mathbf b-\mathbf d|^2=4+x^2-2\frac{x^2}{2}=4.$$ 従って $|\overrightarrow{DA}|=\sqrt5$, $|\overrightarrow{DB}|=2$。

(2) $\triangle BCD$ の辺の長さは $BC=BD=2$, $CD=x$ である。(1)の結果と三角形の成立条件から $0<x<4$ を得る。逆に、$0<x<4$ を任意にとり、互いに直交する単位ベクトル $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3$ を用いて $$\displaystyle \mathbf d=x\mathbf e_3,\quad \mathbf a=\sqrt{5-\frac{x^2}{4}}\,\mathbf e_1+\frac{x}{2}\mathbf e_3,\quad \mathbf b=\sqrt{4-\frac{x^2}{4}}\,\mathbf e_2+\frac{x}{2}\mathbf e_3$$ と定める。これらは $|\mathbf a|=\sqrt5$, $|\mathbf b|=2$, $|\mathbf d|=x$ を満たし、$\mathbf a\cdot\mathbf d=\mathbf b\cdot\mathbf d=x^2/2$, $\mathbf a\cdot\mathbf b=x^2/4$ である。従って二つの内積条件が成り立つ。また、$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf d$ は一次独立であり、4点は同一平面上にない。よって範囲内の各 $x$ が実現する。

(3) $\mathbf d/x$ を $CD$ 方向の単位ベクトルとすると、(1)より $\mathbf a$ と $\mathbf b$ の $CD$ 方向の成分はともに $x/2$ である。よって $A,B$ から直線 $CD$ までの距離は、それぞれ $\sqrt{5-x^2/4}$, $\sqrt{4-x^2/4}$ となる。したがって $$\displaystyle S(x)=\frac{x}{2}\left(\sqrt{5-\frac{x^2}{4}}+\sqrt{4-\frac{x^2}{4}}\right).$$ $y=x^2$ ($0<y<16$) とおくと、$4S=\sqrt{y(20-y)}+\sqrt{y(16-y)}$ である。右辺を $T(y)$ とすると $$\displaystyle T^{\prime}(y)=\frac{1}{\sqrt y}\left(\frac{10-y}{\sqrt{20-y}}+\frac{8-y}{\sqrt{16-y}}\right).$$ $0<y\le8$ では $T^{\prime}(y)>0$、$10\le y<16$ では $T^{\prime}(y)<0$ である。$8<y<10$ で $T^{\prime}(y)=0$ となる条件は $$\displaystyle \frac{10-y}{\sqrt{20-y}}=\frac{y-8}{\sqrt{16-y}}.$$ 両辺は正なので二乗してよく、整理すると $$(10-y)^2(16-y)=(y-8)^2(20-y)\quad\text{すなわち}\quad 36y=320.$$ 従って唯一の停留点は $y=80/9$ であり、そこで増加から減少に変わる。よって $S$ は $x=\sqrt{80/9}=4\sqrt5/3$ で最大となる。

(4) $AB$ が平面 $BCD$ に垂直であるから $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$。従って $(\mathbf b-\mathbf a)\cdot\mathbf b=0$ より $\mathbf a\cdot\mathbf b=4$、したがって $$AB^2=|\mathbf b-\mathbf a|^2=|\mathbf b|^2+|\mathbf a|^2-2\mathbf a\cdot\mathbf b=4+5-8=1.$$ 四面体の高さは $AB=1$ である。底面 $BCD$ の面積は、$\mathbf b\cdot\mathbf d=x^2/2$ を用いて $$\displaystyle [BCD]=\frac12\sqrt{|\mathbf b|^2|\mathbf d|^2-(\mathbf b\cdot\mathbf d)^2} =\frac{x}{4}\sqrt{16-x^2}.$$ $x=4\sqrt5/3$ を代入すると $[BCD]=8\sqrt5/9$ だから、体積は $$\displaystyle \frac13[BCD]\cdot AB=\frac13\cdot\frac{8\sqrt5}{9}\cdot1=\frac{8\sqrt5}{27}.$$