3島根大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $x=\sin\theta$ とおくと、$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ であり、$\sqrt{1-x^2}=\cos\theta$、$dx=\cos\theta\,d\theta$ となる。したがって $$\displaystyle \int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx =\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\frac{\pi}{4}.$$ (2) $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ とおく。$0\leq x\leq1$ で $f$ は連続かつ単調減少である。また $$\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2,\qquad \sqrt{n^2-k^2}=n f\!\left(\frac{k}{n}\right)$$ より、求める数列を $A_n$ とすると $$\displaystyle A_n=\frac{2}{n+1}\sum\limits _{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right) =\frac{2n}{n+1}R_n,\qquad R_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right).$$ $f$ は単調減少だから、各 $k=1,\ldots,n$ について $$\displaystyle \frac1n f\!\left(\frac{k}{n}\right) \leq \int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)\,dx \leq \frac1n f\!\left(\frac{k-1}{n}\right).$$ これらを加えると $$\displaystyle R_n\leq I\leq \frac1n\sum\limits _{k=0}^{n-1}f\!\left(\frac{k}{n}\right), \qquad I=\int_0^1 f(x)\,dx,$$ となり、右辺と $R_n$ の差は $$\displaystyle \frac{f(0)-f(1)}n=\frac1n$$ である。よって $\displaystyle 0\leq I-R_n\leq\frac1n$ から $R_n\to I$。 (1) より $\displaystyle I=\frac{\pi}{4}$ であり、$\displaystyle \frac{2n}{n+1}\to2$ だから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}A_n=2I=\frac{\pi}{2}.$$