1島根大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) 等差数列と等比数列の一般項は $$\boxed{a_n=25-3(n-1)=28-3n},\qquad \boxed{b_n=2\cdot2^{n-1}=2^n}.$$

(2) 等差数列の和の公式から $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{k=1}^n a_k=\frac n2(a_1+a_n)=\frac{n(53-3n)}2}.$$

(3) 等比数列の和の公式から $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{k=1}^n b_k=2\frac{2^n-1}{2-1}=2^{n+1}-2}.$$

(4) 漸化式を $k=1$ から $n-1$ まで足すと（$n=1$ では空和） $$\displaystyle c_n=7+\sum\limits _{k=1}^{n-1}a_k+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k.$$ 各和を計算して $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}a_k=\frac{n-1}{2}\{2\cdot25+(n-2)(-3)\}=\frac{(n-1)(56-3n)}2,$$ $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k=2\frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^n-2.$$ よって $$\displaystyle \boxed{c_n=5+\frac{(n-1)(56-3n)}2+2^n\qquad(n=1,2,\ldots)}.$$ $n=1$ を代入すると $c_1=7$ となり初期条件も満たす。