島根大学 2025年数学第4問解答・解説

1問題

島根大学2025年度第4問

$a,b,c,d$ を3以下の正の整数， $x>0$ に対して $\displaystyle F(x)=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{ax^n+b}{cx^{n+1}+d}$ とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1)　 $a=3,b=c=2,d=1$ とするとき， $x>1$ に対して $F(x)$ を求めよ。

(2)　 $a=3,b=c=2,d=1$ とするとき， $x>0$ における関数 $y=F(x)$ のグラフをかけ。

(3)　 $y=F(x)$ のグラフと直線 $y=x$ は $x>0$ の範囲でちょうど2つの共有点をもつとする。このとき， $a,b,c,d$ の組み合わせをすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$F(x)=3/(2x) (x>1)$
(2)
$\displaystyle F(x)=2\quad(0<x<1),\qquad F(1)=\frac53,\qquad F(x)=\frac{3}{2x}\quad(x>1)$ 。 $x=1$ の点は $\displaystyle (1,\frac53)$ のみ。
(3)
$(a,b,c,d)=(2,1,1,3),(3,1,1,2),(3,2,1,3),(3,1,2,3)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$x>0$ で $x^n$ の極限を使い、分子分母を場合分けする。 $F(x)=\begin{cases}b/d &(0<x<1),\\ (a+b)/(c+d)&(x=1),\\ a/(cx)&(x>1).\end{cases}$ (1) 指定値では $x>1$ より $F(x)=3/(2x)$ 。

(2) $0<x<1$ では $F=2$ 、 $x=1$ では $5/3$ 、 $x>1$ では $3/(2x)$ 。したがって水平線 $y=2$ の区間 $0<x<1$ は両端を含まず、点 $(1,5/3)$ は含む。曲線 $y=3/(2x)$ は $x>1$ の部分だけで、端点 $(1,3/2)$ は含まない。

(3) $y=F(x)$ と $y=x$ の交点は、各区間で次の条件を満たす点に限られる。 $0<x<1$ では $x=b/d$ が許される条件 $b<d$ 、 $x=1$ では $a+b=c+d$ 、 $x>1$ では $x^2=a/c$ から $a>c$ 。よって共有点数は、三つの条件 $b<d$ 、 $a+b=c+d$ 、 $a>c$ のうち成り立つ条件の個数である。 $a,b,c,d$ がそれぞれ $1,2,3$ のいずれかでちょうど2点となるのは、 $b<d$ と $a>c$ がともに成立し、かつ $a-c\ne d-b$ の組に限る（片方だけと等式が同時に成立することは、等式 $a-c=d-b$ と符号から不可能）。該当する組は $\boxed{(a,b,c,d)=(2,1,1,3),(3,1,1,2),(3,2,1,3),(3,1,2,3)}.$

この問題で使う考え方

x^nの増減による極限の分類
定義域ごとの場合分け
整数の全候補の条件整理

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