2島根大学 2025年 数学 第2問解答・解説

袋Aから最初に袋Bへ移した白玉の個数を$x$とする。袋Aから2個を取り出すとき、$x=0,1,2$について、それぞれの確率は$$\displaystyle P(x=0)=\frac{\binom{2}{0}\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{3}{10},\quad P(x=1)=\frac{\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{5}{2}}=\frac{6}{10},\quad P(x=2)=\frac{\binom{2}{2}\binom{3}{0}}{\binom{5}{2}}=\frac{1}{10}.$$ $x$個を移した後、袋Aには白玉が$2-x$個残り、袋Bには白玉が$x+1$個、赤玉が$3-x$個、合計4個入っている。したがって袋Bから白玉を戻す確率は$(x+1)/4$、赤玉を戻す確率は$(3-x)/4$である。

(1) 袋Aの白玉が0個になるには、$x=2$で、袋Bから赤玉を戻せばよい。よって求める確率は$$\displaystyle \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{40}.$$

(2) 袋Aの白玉が1個になるのは、$x=1$で赤玉を戻す場合、または$x=2$で白玉を戻す場合である。よって求める確率は$$\displaystyle \frac{6}{10}\cdot\frac{2}{4}+\frac{1}{10}\cdot\frac{3}{4}=\frac{12}{40}+\frac{3}{40}=\frac{3}{8}.$$

(3) $x=0$のとき、試行S後に袋Aから白玉を取り出す確率は$$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}.$$ $x=1$のときは$$\displaystyle \frac{2}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{8},$$ $x=2$のときは$$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 0+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{16}.$$ これらを$x$の確率で重み付けすると、試行Tで白玉が取り出される確率は$$\displaystyle \frac{3}{10}\cdot\frac{9}{16}+\frac{6}{10}\cdot\frac{3}{8}+\frac{1}{10}\cdot\frac{3}{16}=\frac{66}{160}=\frac{33}{80}.$$