4琉球大学 2025年 数学 第4問解答・解説

コインで表が $k$ 枚出る確率は $\displaystyle \binom{3}{k}/8$ であり、そのとき袋の赤玉は $3+k^2$ 個、全体は $6+k^2$ 個である。したがって、袋から同時に取り出した2個がともに赤玉である確率は $$\displaystyle \frac{\binom{3+k^2}{2}}{\binom{6+k^2}{2}}$$ となる。

問1では $k=3$ なので、 $$\displaystyle \frac{1}{8}\cdot\frac{\binom{12}{2}}{\binom{15}{2}} =\frac{1}{8}\cdot\frac{66}{105} =\frac{11}{140}.$$

問2では、表の枚数 $k=0,1,2,3$ の場合に分ける。それぞれの場合の確率と、赤玉を2個取り出す条件付き確率を掛けて足すと、 $$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{赤玉2個}) &=\frac18\cdot\frac{\binom32}{\binom62} +\frac38\cdot\frac{\binom42}{\binom72} +\frac38\cdot\frac{\binom72}{\binom{10}2} +\frac18\cdot\frac{\binom{12}2}{\binom{15}2}\\ &=\frac{1}{40}+\frac{3}{28}+\frac{7}{40}+\frac{11}{140} =\frac{27}{70}. \end{aligned}$$

問3は条件付き確率の定義より、 $$\displaystyle P(k=3\mid\text{赤玉2個}) =\frac{P(k=3\text{かつ赤玉2個})}{P(\text{赤玉2個})} =\frac{11/140}{27/70} =\frac{11}{54}.$$ 以上より、答えは $\displaystyle (1)\ \frac{11}{140},\ (2)\ \frac{27}{70},\ (3)\ \frac{11}{54}$ である。