2琉球大学 2025年 数学 第2問解答・解説

（以下、$\log$ は自然対数を表す。）

問1 部分積分法で $u=\log x,\ dv=dx$ とおくと、$\displaystyle du=\frac{1}{x}dx,\ v=x$ である。したがって、$x>0$ に対して $$\displaystyle \int \log x\,dx=x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\log x-x+C.$$

問2 問1より、$x-\log x$ の原始関数は $\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}-x\log x+x$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned}g(a)&=F(a+1)-F(a)\\&=\frac{(a+1)^2-a^2}{2}-(a+1)\log(a+1)+a\log a+1\\&=a+\frac32+a\log a-(a+1)\log(a+1).\end{aligned}$$

問3 この式を微分すると $$\displaystyle g'(a)=1+\log a-\log(a+1)=\log\frac{ea}{a+1}.$$ ここで $a>0$ であり、$\log t$ は増加関数で $\log 1=0$ だから、$g'(a)<0$ となるのは $\displaystyle \frac{ea}{a+1}<1$、すなわち $\displaystyle a<\frac{1}{e-1}$ のときである。同様に、$\displaystyle a=\frac{1}{e-1}$ では $g'(a)=0$、$\displaystyle a>\frac{1}{e-1}$ では $g'(a)>0$ となる。したがって $g$ は $\displaystyle 0<a<\frac{1}{e-1}$ で減少し、その後増加するので、$\displaystyle a=\frac{1}{e-1}$ で最小となる。このとき $a+1=ea$ より $\log(a+1)=\log a+1$ であるから、$$\displaystyle g(a)=a+\frac32+a\log a-(a+1)(\log a+1)=\frac12-\log a=\frac12+\log(e-1).$$ 以上より、最小値は $\displaystyle \frac12+\log(e-1)$、そのときの $a$ は $\displaystyle \frac{1}{e-1}$ である。