III福岡大学 2024年 数学 第III問解答・解説

(i) $R=\sqrt{x^2+16}$、$L=\ln(x+R)$ とおく。$R'=x/R$ であり、$x+R>0$ だから $$\displaystyle L'=\frac{1+x/R}{x+R}=\frac1R.$$ 従って $$\displaystyle g'(x)=16L'+R+xR'=\frac{16}{R}+R+\frac{x^2}{R}=2R.$$ $x=3$ では $R=5$、$g(3)=16\ln8+15$、$g'(3)=10$ である。ゆえに接線は $$y-(16\ln8+15)=10(x-3),\qquad y=10x+16\ln8-15.$$

(ii) $x\ge0$ なら $x+\sqrt{x^2+16}\ge4$ なので $f(x)\ge16\ln4>0$。従って $y=xf(x)$ は $x=0$ でのみ $x$ 軸と交わり、求める面積は $$\displaystyle 16\int_0^3xL\,dx$$ である。部分積分すると $$\displaystyle \int xL\,dx=\frac{x^2}{2}L-\frac12\int\frac{x^2}{R}\,dx.$$ ここで $x^2/R=R-16/R$、$L'=1/R$ であり、 $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{xR}{2}+8L\right)=R$$ だから $$\displaystyle \int\frac{x^2}{R}\,dx=\frac{xR}{2}-8L.$$ したがって $$\displaystyle \int xL\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+4\right)L-\frac{xR}{4}.$$ よって面積は $$\displaystyle 16\left[\left(\frac{x^2}{2}+4\right)L-\frac{xR}{4}\right]_0^3 =136\ln8-64\ln4-60 =280\ln2-60.$$