II福岡大学 2024年 数学 第II問解答・解説

(i) $x=t+1/t$ であるから、 $$\displaystyle x^3=\left(t+\frac1t\right)^3=t^3+\frac1{t^3}+3\left(t+\frac1t\right)$$ となる。よって $$\displaystyle y=t^3+\frac1{t^3}+(k^2-k-7)x =x^3-3x+(k^2-k-7)x =x^3+(k^2-k-10)x.$$

また $t>0$ なので $$\displaystyle x=t+\frac1t=2+\frac{(t-1)^2}{t}\ge2.$$ 逆に、任意の $x\ge2$ に対して $t^2-xt+1=0$ は正の解をもつので、$x$ の値域は $x\ge2$ である。$y=0$ は $x>0$ より $$x^2=-k^2+k+10$$ と同値である。したがって正の $t$ が存在する条件は $$-k^2+k+10\ge4\quad\text{と同値な条件は}\quad k^2-k-6\le0 \quad\text{、すなわち}\quad -2\le k\le3.$$ よってそのような $t$ が存在しない範囲は $k<-2$ または $k>3$。

(ii) 平均値が $6$ なので、10個の値の和は $60$ である。既知の7個の値の和は $42$ だから $$42+a+(a+3)+b=60\quad\text{より}\quad b=15-2a.$$ さらに $a\le b$ より $a\le5$。中央値は小さい順に並べた第5項と第6項の平均である。

$a\le1$ のとき $b\ge13$ であり、$a,a+3,1,2,2$ はすべて $4$ 以下、残りの値は $8,9,10,10,b$ である。従って第5項は $4$ 以下、第6項は $8$ であり、中央値は $6$ 以下。

残る整数 $a=2,3,4,5$ については、順に並べると $$\begin{array}{c|c|c} a&\text{小さい順に並べた10個の値}&\text{中央値}\\ \hline 2&1,2,2,2,5,8,9,10,10,11&13/2\\ 3&1,2,2,3,6,8,9,9,10,10&7\\ 4&1,2,2,4,7,7,8,9,10,10&7\\ 5&1,2,2,5,5,8,8,9,10,10&13/2 \end{array}$$ である。条件を満たすのは $a=3,4$ の2通りで、対応する $(a,b)$ は $(3,9),(4,7)$。したがって組の個数は $2$。