I福岡大学 2024年 数学 第I問解答・解説

(i) $s=\sin\theta+\cos\theta$ とおくと、 $$s^2=1+2\sin\theta\cos\theta=1+2t.$$ また $\theta+\pi/4$ は $\pi$ から $3\pi/2$ までの範囲にあるので $$s=\sqrt2\sin(\theta+\pi/4)\le0.$$ 従って $s=-\sqrt{1+2t}$。 さらに $r=-s$ とおくと、同じ角度範囲から $0\le r\le\sqrt2$ である。関数は $$\displaystyle f(\theta)=\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)=ts =\frac{r-r^3}{2}.$$ このとき $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{9}-f(\theta) =\frac12\left(r-\frac1{\sqrt3}\right)^2\left(r+\frac2{\sqrt3}\right)\ge0.$$ 等号は $r=1/\sqrt3$ のときに成り立ち、その値は範囲内で実現する。よって最大値は $\sqrt3/9$。

(ii) $\boldsymbol b=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol c=\overrightarrow{AC}$ とおくと $$|\boldsymbol b|^2=9,\quad |\boldsymbol c|^2=16,\quad \boldsymbol b\cdot\boldsymbol c=|\boldsymbol b||\boldsymbol c|\cos\angle BAC=3.$$ $BD:DC=3:1$ より $$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac14\boldsymbol b+\frac34\boldsymbol c, \quad |\overrightarrow{AD}|^2=\frac{9+9\cdot16+6\cdot3}{16}=\frac{171}{16}.$$ したがって $|\overrightarrow{AD}|=3\sqrt{19}/4$。

次に $\overrightarrow{AM}=(\boldsymbol b+\boldsymbol c)/2$ なので、$P$ が直線 $AM$ 上にあることから、ある実数 $u$ を用いて $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac u2(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$$ とおける。位置ベクトルを $A$ を原点として表すと $$\displaystyle \overrightarrow{DN}=\frac14\bigl((1+u)\boldsymbol b+(u-3)\boldsymbol c\bigr).$$ よって直交条件は $$\displaystyle 0=\overrightarrow{DN}\cdot\overrightarrow{AM} =\frac18\{12(1+u)+19(u-3)\} =\frac{31u-45}{8},$$ 従って $u=45/31$ であり、 $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{45}{62}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$$

(iii) 最小の番号が $3$ となるには、番号 $3$ を選び、残る2枚を $4,5,\ldots,n$ から選べばよい。$n=3,4$ ではそのような選び方はない。$n\ge5$ では $$\displaystyle P_n=\frac{\binom{n-3}{2}}{\binom n3} =\frac{3(n-3)(n-4)}{n(n-1)(n-2)}.$$ したがって $$\displaystyle P_6=\frac{3\cdot3\cdot2}{6\cdot5\cdot4}=\frac3{20}.$$ 最大値を調べるため、$n\ge5$ に対して $$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{(n-2)^2}{(n+1)(n-4)},\qquad (n-2)^2-(n+1)(n-4)=8-n.$$ よって $n<8$ では $P_{n+1}>P_n$、$n=8$ では $P_9=P_8$、$n>8$ では $P_{n+1}<P_n$。また $P_3=P_4=0$ である。ゆえに最大値は $n=8,9$ でとり、 $$\displaystyle P_8=P_9=\frac5{28}.$$