4熊本大学 2020年 数学 第4問解答・解説

各小問について、$f(x)=\log_2(1+x)$ とおく。

問1 $x=k\ (1\le k\le n-1)$ を固定し、$A_k=n\log_2(1+k/n)$ とする。$1<2^y$ かつ y は整数なので $y\ge1$。底2の指数関数は増加するから、上側の不等式は $y<A_k$ と同値である。該当する正整数 y の個数を $m_k$ とすると、$A_k>0$ より $$A_k-1\le m_k<A_k.$$ 実際、$A_k\le1$ なら $m_k=0$、$A_k>1$ なら正整数を $A_k$ 未満で数えた個数は $m_k=\lceil A_k\rceil-1$ であり、どちらもこの評価を満たす。各 k の点は異なるので $\displaystyle P(n)=\sum\limits _{k=1}^{n-1}m_k$。よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}\left\{n\log_2\left(1+\frac{k}{n}\right)-1\right\} \le P(n)<\sum\limits _{k=1}^{n-1}n\log_2\left(1+\frac{k}{n}\right).$$

問2 $\displaystyle S_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n-1}f(k/n)$ とおく。問1を $n^2$ で割ると $$\displaystyle S_n-\frac{n-1}{n^2}\le\frac{P(n)}{n^2}<S_n.$$ さらに $f(0)=0, f(1)=1$ なので $\displaystyle S_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n}f(k/n)-\frac1n$。連続関数 f の右端点リーマン和の極限から $\displaystyle S_n\to\int_0^1f(x)\,dx$ である。部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1f(x)\,dx &=\frac1{\ln2}\int_0^1\ln(1+x)\,dx\\ &=\frac1{\ln2}\left[(1+x)\ln(1+x)-(1+x)\right]_0^1\\ &=2-\frac1{\ln2}. \end{aligned}$$ また $(n-1)/n^2\to0$。はさみうちにより $$\displaystyle L=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{P(n)}{n^2}=2-\frac1{\ln2}.$$

問3 $\displaystyle f''(x)=-\frac1{(1+x)^2\ln2}<0\ (0\le x\le1)$ だから、各区間 $[(k-1)/n,k/n]$ では f のグラフは両端を結ぶ線分より内部で厳密に上にある。したがって $$\displaystyle \int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)\,dx> \frac{f((k-1)/n)+f(k/n)}{2n}.$$ これを k=1,…,n について加えると、$f(0)=0, f(1)=1$ より $$\displaystyle L=\int_0^1 f(x)\,dx>S_n+\frac1{2n}.$$ 問1から $P(n)/n^2<S_n$ なので $$\displaystyle L-\frac{P(n)}{n^2}>\frac1{2n}.$$