1熊本大学 2020年 数学 第1問解答・解説

媒介変数の範囲は $\displaystyle 0\leq t\leq \frac{2\pi}{3}$ である。

（問1） $x=\sin t$ はこの区間で最大値 $1$ を $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ のときにとる。このとき $\displaystyle y=1-\cos\frac{3\pi}{2}=1$ だから、$P=(1,1)$ である。また、$0\leq 3t\leq 2\pi$ より $\cos 3t$ の最小値は $-1$ であり、これは $3t=\pi$、すなわち $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$ のときにとる。このとき $\displaystyle x=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$y=2$ だから、$\displaystyle Q=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},2\right)$ である。

（問2） $\displaystyle x=\frac12$ となる $t$ は区間内では $\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$ であり、このとき $\displaystyle y=1-\cos\frac{\pi}{2}=1$ である。媒介変数表示を微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\cos t,\qquad \frac{dy}{dt}=3\sin 3t.$$ $\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$ では $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne0$ なので、接線の傾きは $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3}{\sqrt{3}/2}=2\sqrt{3}.$$ よって、求める接線は $\displaystyle y-1=2\sqrt{3}\left(x-\frac12\right)$、すなわち $y=2\sqrt{3}x+1-\sqrt{3}$ である。

（問3） $y=1-\cos 3t\geq0$ であり、曲線は $t=0$ で $(0,0)$、$\displaystyle t=\frac{2\pi}{3}$ で $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}2,0\right)$ に達する。$x=\sin t$ は $\displaystyle 0\leq t\leq\frac{\pi}{2}$ で増加し、その後 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ まで減少する。したがって、曲線をたどる向きに沿う $\displaystyle \int y\,dx$ では、後半の減少部分が下側の境界の面積を差し引き、囲まれた図形の面積になる。よって $$\displaystyle S=\int_0^{2\pi/3}y\frac{dx}{dt}\,dt=\int_0^{2\pi/3}(1-\cos3t)\cos t\,dt.$$ 積和公式 $\displaystyle \cos3t\cos t=\frac12(\cos4t+\cos2t)$ を用いると $$\displaystyle S=\left[\sin t-\frac18\sin4t-\frac14\sin2t\right]_0^{2\pi/3}=\frac{9\sqrt{3}}{16}.$$