1琉球大学 2025年 数学 第1問解答・解説

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数学の確認

(1) $\displaystyle f_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}$ なので $f_2'(x)=1+x$。

(2) $u(x)=e^x-1-x$ とおく。$u(0)=0$、$u'(x)=e^x-1\geq0\ (x\geq0)$ だから $u(x)\geq0$。従って $e^x\geq f_1(x)$。

定義から $f_{n+1}'=f_n$。実際、 $$\displaystyle f_{n+1}'(x)=\sum\limits _{k=1}^{n+1}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} =\sum\limits _{j=0}^{n}\frac{x^j}{j!}=f_n(x).$$

(3) $D_n(x)=e^x-f_n(x)$ とおく。(2)より $D_1\geq0$。さらに $D_{n+1}'=e^x-f_n=D_n$、$D_{n+1}(0)=0$ だから $$\displaystyle D_{n+1}(x)=\int_0^xD_n(t)\,dt\geq0\quad(x\geq0)$$ が帰納的に成り立つ。

(4) まず $e<3$ を確かめる。$e^x$ の二階導関数は正なので、そのグラフは下に凸で、$0<x<1$ では両端を結ぶ線分より下にある。したがって、$0\leq x\leq1$ では$e^x\leq1+(e-1)x$。積分すると $$\displaystyle e-1=\int_0^1e^x\,dx <\int_0^1\{1+(e-1)x\}\,dx=\frac{e+1}{2},$$ 従って $e<3$。よって $e^x\leq1+(e-1)x\leq1+2x$ であり、$G_1(x)=f_1(x)+x-e^x\geq0$。

$\displaystyle G_n(x)=f_n(x)+\frac{x^n}{n!}-e^x$ とおくと $G_{n+1}'=G_n$、$G_{n+1}(0)=0$。従って $\displaystyle G_{n+1}(x)=\int_0^xG_n(t)\,dt$。基底 $G_1\geq0$ と帰納法から全ての $n\geq1$ で $G_n\geq0$ が $0\leq x\leq1$ の範囲で成り立つ。

範囲・表示・ラベル

指数関数の単調性、微分と二階微分による凸性、定積分、数学的帰納法を使う。表紙記載の数学甲の範囲内で、Taylor/Maclaurin展開や無限級数は用いない。問3は $x\geq0$、問4は $0\leq x\leq1$ の条件をそれぞれ保った。

**答**

(1) $f_2'(x)=1+x$。

(2) $e^x\geq f_1(x)\quad(x\geq0)$。

(3) $e^x\geq f_n(x)\quad(x\geq0,\ n\geq1)$。

(4) $\displaystyle e^x\leq f_n(x)+\frac{x^n}{n!}\quad(0\leq x\leq1,\ n\geq1)$。