6愛媛大学 2025年 数学 第6問解答・解説

(1)(i) $$\displaystyle \begin{aligned} f_2(x) &=\frac12\int_{x-a}^{x+a}\frac{e^t+e^{-t}}2\,dt\\ &=\frac14\left[e^t-e^{-t}\right]_{x-a}^{x+a}\\ &=\frac14(e^a-e^{-a})(e^x+e^{-x})=A f_1(x). \end{aligned}$$ $f_1(x)>0$ なので $\boxed{f_2(x)/f_1(x)=A}$。

(1)(ii) $n=1$ では $A^0f_1(x)=f_1(x)$ なので成り立つ。$f_k(x)=A^{k-1}f_1(x)$ と仮定すれば $$\displaystyle f_{k+1}(x)=\frac12\int_{x-a}^{x+a}f_k(t)\,dt =A^{k-1}\frac12\int_{x-a}^{x+a}f_1(t)\,dt =A^{k-1}f_2(x)=A^k f_1(x).$$ 従って帰納法により $$\boxed{f_n(x)=A^{n-1}f_1(x)\quad(n=1,2,3,\ldots)}.$$

(1)(iii), (iv) $f_1(0)=1$ より $f_n(0)=A^{n-1}$。また $a>0$ から $A=(e^a-e^{-a})/2>0$。よって無限等比級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^\infty A^{n-1}$ の収束条件は $0<A<1$。$X=e^a>1$ と置けば $$\displaystyle A<1\text{すなわち} X-\frac1X<2\text{すなわち} X^2-2X-1<0 \text{すなわち} 1<X<1+\sqrt2,$$ したがって $$\boxed{0<a<\log(1+\sqrt2)}.$$ この範囲で $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{n=1}^{\infty}f_n(0)=\frac1{1-A}=\frac{2}{2-e^a+e^{-a}}}.$$

(2)(i) $$\vec c=s\vec a+\vec b=(s+1,2s+1,s+1),\qquad \vec a\cdot\vec c=6s+4=0.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{s=-\frac23},\qquad \boxed{\vec c=\left(\frac13,-\frac13,\frac13\right)}.$$

(2)(ii)(a),(b) $\vec a\cdot\vec c=0$、$|\vec a|^2=6$ なので $$\displaystyle 1=\vec a\cdot\vec d=6t,\qquad \boxed{t=\frac16}.$$ また $\vec a\cdot\vec b=4$、$\displaystyle \vec b\cdot\vec c=\frac13$ より $$\displaystyle x=\vec b\cdot\vec d=4t+\frac13u=\frac23+\frac13u, \qquad \boxed{u=3x-2}.$$

(2)(ii)(c) $\displaystyle |\vec c|^2=\frac13$ かつ $\vec a\cdot\vec c=0$ より $$\displaystyle f(x)^2=|\vec d|^2=6t^2+\frac13u^2 =3x^2-4x+\frac32.$$ $x\to+\infty$ では $$\displaystyle \frac{f(x)}x=\sqrt{3-\frac4x+\frac{3}{2x^2}}\longrightarrow\sqrt3,$$ したがって条件 $f(x)-(px+q)\to0$ の傾きは $p=\sqrt3$。さらに有理化して $$\displaystyle f(x)-\sqrt3x= \frac{-4x+\frac32}{f(x)+\sqrt3x} \longrightarrow-\frac4{2\sqrt3}=-\frac2{\sqrt3}.$$ よって $$\displaystyle \boxed{p=\sqrt3},\qquad \boxed{q=-\frac2{\sqrt3}}.$$