4大阪大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $g(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x)$ とおくと $g'(x)=-2e^{-x}\sin x\le0$。従って $g(x)\le g(0)=1$。 $f'(x)=-g(x)$ だから $(f(x)+x-1)'=1-g(x)\ge0$ であり，$x=0$ で0なので $1-x\le f(x)$。 また $0\le\cos x\le1$ と $0<e^{-x}\le1$ より $f(x)\le1$。 (2) $x=at$ と置換すると $$\displaystyle I(a)=\int_0^1\frac{1+t}{1+t^2}f(at)\,dt.$$ $1-at\le f(at)\le1$ を正の重み $(1+t)/(1+t^2)$ とともに積分すれば，$\displaystyle J=\int_0^1(1+t)/(1+t^2)\,dt$ として $$\displaystyle 0\le J-I(a)\le a\int_0^1\frac{t(1+t)}{1+t^2}\,dt.$$ よって極限は $J$。 $$\displaystyle \int_0^1\frac{t}{1+t^2}\,dt=\frac12\log2.$$ 残る積分では $t=\tan u$（$0\le u\le\pi/4$）とおくと $dt=(1+\tan^2u)du$ なので $\displaystyle \int_0^1dt/(1+t^2)=\pi/4$。 従って求める極限は $\displaystyle \frac12\log2+\frac\pi4$。