3大阪大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$z=x+iy$ とおくと $$\displaystyle f(z)=\frac{(1-ai)(x+iy)+(1+ai)(x-iy)}2=x+ay\quad\text{（実数）}, \qquad f(i)=a.$$ (1)より $u=f(z)$ は実数である。(2)の条件は $$u(u-a-2)=-2a \quad\text{すなわち}\quad (u-a)(u-2)=0.$$ よって $u=a$ または $u=2$。

$|z|=1$ と $u=c=x+ay$ を満たす点の個数を数えるため、$s=ax-y$ とおく。この変換は $$\displaystyle x=\frac{c+as}{1+a^2},\qquad y=\frac{ac-s}{1+a^2}$$ で一対一であり、 $$c^2+s^2=(1+a^2)(x^2+y^2)=1+a^2.$$ したがって $s^2=1+a^2-c^2$。$c=a$ では $s^2=1$ なので常に2点、$c=2$ では $s^2=a^2-3$ だから、$|a|<\sqrt3$ なら0点、$|a|=\sqrt3$ なら1点、$|a|>\sqrt3$ なら2点である。$a=2$ のとき二条件は同じ直線を表すので重複して数えない。よって $$\boxed{ N(a)= \begin{cases} 2 & (|a|<\sqrt3\ \text{または}\ a=2),\\ 3 & (|a|=\sqrt3),\\ 4 & (|a|>\sqrt3,\ a\ne2). \end{cases}}$$