1大阪大学 2026年 数学 第1問解答・解説

曲線を $y=f(x)$, $f(x)=x-x^3$ とおくと、$f'(s)=1-3s^2$ である。したがって、点 $(s,s-s^3)$ における接線は $$\ell_s:\ y=(1-3s^2)x+2s^3.$$ よって $\ell_0:y=x$, $\ell_1:y=-2x+2$ であり、 $$\displaystyle P\left(\frac23,\frac23\right),\qquad Q\left(\frac{2t}{3},\frac{2t}{3}\right).$$ また、$R$ の $x$ 座標を $x_R$ とすると、$\ell_1$ と $\ell_t$ の交点の条件から $$\displaystyle -2x_R+2=(1-3t^2)x_R+2t^3,\qquad x_R=\frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}.$$ $R$ は $\ell_t$ 上にあるから $$\displaystyle y_R-x_R=-3t^2x_R+2t^3=-\frac{2t^2}{t+1}.$$ $P,Q$ は直線 $y=x$ 上にあり、$0<t<1$ より $$\displaystyle PQ=\frac{2\sqrt2(1-t)}{3},\qquad d(R,\ell_0)=\frac{|y_R-x_R|}{\sqrt2}=\frac{2t^2}{\sqrt2(t+1)}.$$ したがって $$\displaystyle S(t)=\frac12 PQ\,d(R,\ell_0)=\frac{2t^2(1-t)}{3(t+1)}.$$

$0<t<1$ においてこの式を微分すると $$\displaystyle S'(t)=\frac{4t(1-t-t^2)}{3(t+1)^2}.$$ 分母と $t$ は正であり、$1-t-t^2=0$ の範囲内の解は $\displaystyle \alpha=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ である。$1-t-t^2$ は $0<t<\alpha$ で正、$\alpha<t<1$ で負だから、$S(t)$ は $t=\alpha$ で最大となる。$\alpha^2=1-\alpha$ および $1+\alpha=1/\alpha$ を用いると $$\displaystyle S(\alpha)=\frac{2\alpha^2(1-\alpha)}{3(1+\alpha)}=\frac{2\alpha^5}{3}=\frac{5\sqrt5-11}{3}.$$