3秋田大学 2002年 数学 第3問解答・解説

(i) $f(x)=5\pi x(1-x)$ とすると $$\displaystyle \frac{d}{dx}\tan f(x)=f'(x)\frac1{\cos^2 f(x)}=5\pi(1-2x)\frac1{\cos^2 f(x)}$$ である（ただし $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}+n\pi$ では関数は定義されない）。$\displaystyle \frac1{\cos^2 f(x)}>0$ なので停留点は $\displaystyle x=\frac12$ のみであり、その近傍では導関数の符号が正から負へ変わる。$\displaystyle f(\frac12)=\frac{5\pi}{4}$ より $\displaystyle \tan f(\frac12)=1$。したがって極大値は $1$（$\displaystyle x=\frac12$）、極小値はない。

$0<x<1$ では $\displaystyle 0<f(x)\leq\frac{5\pi}{4}$。$0<\alpha<\pi/4,\ \tan\alpha=1/2$ とすると $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$ であり、$\displaystyle \tan f(x)=\frac12$ はこの範囲で $f(x)=\alpha,\ \pi+\alpha$ の2水準に限る。どちらも $\displaystyle 0<f<\frac{5\pi}{4}$ なので、二次関数 $f$ は各水準を2回とる。よって交点は $2+2=4$ 個。

(ii) $g'(x)=3a(x^2-1)$ であり、$x=-1$ で $g$ は極大、$x=1$ で極小となる。$\tan$ は定義される各区間で増加し、条件の値は有限なので $$\tan(b+2a)=-1,\qquad \tan(b-2a)=1.$$ 従ってある整数 $k,l$ に対して $$\displaystyle b+2a=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad b-2a=\frac{\pi}{4}+l\pi.$$ $s=k+l,\ d=k-l$ と置けば $$\displaystyle b=\frac{s\pi}{2},\qquad a=\frac{(2d-1)\pi}{8},\qquad d>0,\quad d\equiv s\pmod2.$$ $0<b\leq\pi$ から $s=1$ または $2$ である。

$-\sqrt3<x<\sqrt3$ での $g(x)$ の端での値はともに $b$、内部の極大値・極小値はそれぞれ $M=b+2a$、$m=b-2a$ であり、値の推移は $b\to M\to m\to b$ である。$\tan g(x)=0$ は $g(x)=n\pi$（$n$ は整数） と同値である。

$s=1$（$\displaystyle b=\frac\pi2$）なら $d=1,3,5,\ldots$。$d=1$ では $\displaystyle m=\frac\pi4$, $\displaystyle M=\frac{3\pi}4$ なので $m\le g(x)\le M$ の範囲に整数倍の $\pi$ がなく、交点は0個。$d=3$ では $\displaystyle m=-\frac{3\pi}4,\ M=\frac{7\pi}4$ であり、水準 $0$ と $\pi$ がそれぞれ2回ずつとられるため計4個。$d\geq5$ では少なくとも水準 $-\pi,0,\pi,2\pi$ が各2回とられるので、交点数は少なくとも8個。

$s=2$（$b=\pi$）なら $d=2,4,6,\ldots$。$d=2$ では端の水準 $\pi$ を除くと内部に水準 $\pi$ を1回とるだけで交点は1個。$d=4$ では水準 $0,2\pi$ が各2回、水準 $\pi=b$ が内部で1回とられ、計5個。$d\geq6$ では少なくとも水準 $-\pi,0,2\pi,3\pi$ が各2回、さらに水準 $\pi$ が1回とられるため、少なくとも9個。従って交点数が4個となるのは $s=1,d=3$ の場合に限る。

このとき $k=(s+d)/2=2,\ l=(s-d)/2=-1$ なので $$\displaystyle a=\frac{5\pi}{8},\qquad b=\frac\pi2.$$ 実際、$\displaystyle M=\frac{7\pi}4,\ m=-\frac{3\pi}4$ で条件の極値を満たし、水準 $0,\pi$ が各2回とられる。