3岐阜大学 2016年 数学 第3問解答・解説

$-\pi/2<\theta<\pi/2$ より $t=\cos\theta$ とおくと $0<t\le1$ である。三倍角と倍角の公式から $$\cos3\theta=4t^3-3t,\qquad 1+\cos2\theta=2t^2.$$ (1) 方程式は $4t^3-2t=2t(2t^2-1)=0$。$t>0$ より $t=1/\sqrt2$ なので $$\displaystyle \boxed{\theta=\pm\frac\pi4}.$$ (2) 方程式は $t\{4t^2-(k+3)\}=0$ だから $t^2=(k+3)/4$。$0<t\le1$ と $k$ が正の整数であることより $k\le1$、したがって $k=1$ に限る。このとき $t=1$ なので $$\boxed{k=1,\quad\theta=0}.$$ (3) 方程式を整理し、$t>0$ で割ると $$12t^2-2nt-(m+9)=0.$$ この二次方程式の二根の積は $-(m+9)/12<0$ なので、正の根はただ一つである。$F(t)=12t^2-2nt-(m+9)$ とおくと $F(0)<0$ であるから、その正の根が $1$ 以下にあるための必要十分条件は $F(1)\ge0$、すなわち $$m+2n\le3.$$ $m,n$ は正の整数なので $m+2n\ge3$。よって $(m,n)=(1,1)$ に限る。このとき $12t^2-2t-10=2(t-1)(6t+5)=0$ より $t=1$。したがって $$\boxed{(m,n)=(1,1),\quad\theta=0}.$$