5岐阜大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle d\bigl((x,y),A\bigr)^2=(x-1)^2+(y-1)^2,\qquad d\bigl((x,y),\ell\bigr)^2=\frac{(x+y+2)^2}{2}.$$ (1) 距離は非負なので両辺を2乗して等式を立ててよい。等距離条件は $$2\{(x-1)^2+(y-1)^2\}=(x+y+2)^2.$$ 展開整理すると $$\boxed{(x-y)^2-8(x+y)=0}$$ すなわち $x^2+y^2-2xy-8x-8y=0$ である。 (2) $y=0$ を代入すると $x^2-8x=0$、従って共有点は $$\boxed{(0,0),\ (8,0)}.$$ (3) (1)を $y$ について解くと $$y=x+4\pm4\sqrt{x+1}\qquad(x\ge-1).$$ 上側の枝は正であり、下側の枝 $y_-(x)=x+4-4\sqrt{x+1}$ が $x=0,8$ で $x$ 軸と交わる。$0\le x\le8$ で $u=\sqrt{x+1}$ とすれば $1\le u\le3$ であり $$y_-(x)=u^2+3-4u=(u-1)(u-3)\le0.$$ よって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^8\{0-y_-(x)\}\,dx &=\int_0^8\{4\sqrt{x+1}-x-4\}\,dx\\ &=\left[\frac83(x+1)^{3/2}-\frac{x^2}{2}-4x\right]_0^8\\ &=\frac83(27-1)-64=\boxed{\frac{16}{3}}. \end{aligned}$$