4岐阜大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1) $n=1$ のとき、両辺はともに $1$ である。$n=m$ で等式が成り立つと仮定すると $$\displaystyle 1+x+\cdots+x^{m-1}=\frac{1-x^m}{1-x}.$$ よって $$\displaystyle 1+x+\cdots+x^{m-1}+x^m =\frac{1-x^m}{1-x}+x^m =\frac{1-x^{m+1}}{1-x}.$$ したがって、数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $$\displaystyle 1+x+\cdots+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}=\frac1{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$$ が成り立つ（$x\ne1$）。

(2) (1) の両辺を $0$ から $\displaystyle \dfrac12$ まで積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{1/2}(1+x+\cdots+x^{n-1})\,dx &=\int_0^{1/2}\frac{1}{1-x}\,dx-\int_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}\,dx\\ &=\bigl[-\log(1-x)\bigr]_0^{1/2}-\int_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}\,dx\\ &=\log2-\int_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}\,dx. \end{aligned}$$

(3) 有限和の各項を積分すると $$\displaystyle \int_0^{1/2}(1+x+\cdots+x^{n-1})\,dx =\sum\limits _{j=0}^{n-1}\frac{(1/2)^{j+1}}{j+1} =\sum\limits _{k=1}^n\frac1{k\cdot2^k}=S_n.$$ これと (2) より $$\displaystyle S_n=\log2-\int_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}\,dx.$$

(4) $\displaystyle 0\leq x\leq\dfrac12$ では $0\leq x^n\leq2^{-n}$ かつ $1/(1-x)>0$ なので、積分は0以上である。また $$\displaystyle 0\leq\frac{x^n}{1-x}\leq\frac{2^{-n}}{1-x}$$ より $$\displaystyle 0\leq\int_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}\,dx \leq\frac1{2^n}\int_0^{1/2}\frac{1}{1-x}\,dx =\frac{\log2}{2^n}.$$

(5) (3), (4) から $$\displaystyle 0\leq\log2-S_n\leq\frac{\log2}{2^n}.$$ 右端は $n\to\infty$ で0に収束するので、はさみうちの原理により $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=\log2.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot2^2}+\frac1{3\cdot2^3}+\cdots=\log2}.$$