2岐阜大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad x^2+\alpha x+\beta=\left(x+\frac{\alpha}{2}\right)^2+\beta-\frac{\alpha^2}{4}. \quad \left(x+\frac{\alpha}{2}\right)^2\text{ は }x=-\frac{\alpha}{2}\text{ で }0\text{ となるので、全ての }x\text{ で正となる条件は }\beta-\frac{\alpha^2}{4}>0\text{ である。} \\ \text{(2)}\quad a\ne0\text{ なら、}a>0\text{ のとき }y\to+\infty\text{、}a<0\text{ のとき }y\to-\infty\text{ とすれば }ay+b\to+\infty\text{ となり、条件を満たさない。} \quad \text{したがって }a=0\text{ であり、このとき }ay+b=b\text{ だから }b<0\text{ が必要十分である。} \\ \text{(3)}\quad u=x+2y\text{ とおくと、与式は }u^2+5u+(c-10)y+d\text{ となる。} \quad c\ne10\text{ なら }u\text{ を固定して }y\text{ を適切な向きに動かすと式は負になるため、}c=10\text{ が必要である。} \quad c=10\text{ のとき }u^2+5u+d=\left(u+\frac52\right)^2+d-\frac{25}{4}\text{ であり、}u\text{ は任意の実数をとる。} \quad \text{よって全ての }x,y\text{ で正となる条件は }d>\frac{25}{4}\text{ である。}$$