8奈良県立医科大学 2015年 数学 第8問解答・解説

まず $A$ を求める。絶対値の中身の符号で場合分けする。

- $x\geq2$ のとき、$|x-2|=x-2$ なので、条件は $$2x-1\leq x-2\text{、すなわち } x\leq-1.$$ これは $x\geq2$ と両立しない。 - $x<2$ のとき、$|x-2|=2-x$ なので、条件は $$2x-1\leq2-x\text{、すなわち } 3x\leq3\text{、すなわち } x\leq1.$$ 得られた範囲 $x\leq1$ は $x<2$ を満たす。

よって $$A=\{x\mid x\le1\}.$$

次に、因数分解して $$x^2-x=x(x-1),\qquad x^2+x=x(x+1)$$ とする。符号を調べると $$B=\{x\mid0<x<1\},\qquad C=\{x\mid-1\le x\le0\}.$$ したがって $$B\cup C=\{x\mid-1\le x<1\},\qquad \overline{B\cup C}=\{x\mid x<-1\text{ または }x\ge1\},$$ ただし補集合は全体集合 $\mathbb{R}$ に関する。

最後に $A$ と共通部分をとると $$A\cap\overline{B\cup C} =\{x\mid x<-1\text{ または }x=1\}.$$

最終結果・使用解法

$$\boxed{\{x\mid x<-1\text{ または }x=1\}}$$ 絶対値は符号で場合分けし、二次式は因数分解して解の範囲を定め、最後に補集合と共通部分をとった。