11奈良県立医科大学 2015年 数学 第11問解答・解説

Q11　連立方程式

解答

$$(x,y)=(3,5)$$

計算過程

対数が定義される条件は $$x+1>0,\qquad y+3>0$$ である。この条件のもとで対数の差をまとめると、 $$\displaystyle \log_2\frac{x+1}{y+3}=-1$$ となる。したがって $$\displaystyle \frac{x+1}{y+3}=2^{-1}=\frac12, \qquad y+3=2(x+1), \qquad y=2x-1.$$

ここで $$t=2^{2x}$$ とおくと、$t>0$ であり、$y=2x-1$ より $$\displaystyle 2^{2y}=2^{4x-2}=\frac{(2^{2x})^2}{4}=\frac{t^2}{4}.$$ これを第1式に代入して整理する。 $$\displaystyle 15t-\frac{t^2}{4}=-64 \quad\text{すなわち}\quad t^2-60t-256=0.$$ よって $$\displaystyle t=\frac{60\pm\sqrt{60^2+4\cdot256}}{2} =\frac{60\pm68}{2},$$ したがって候補は $t=64,-4$ である。$t>0$ なので $t=64=2^6$ のみが適する。ゆえに $$2^{2x}=2^6,\qquad x=3,\qquad y=2x-1=5.$$

確認・必要十分性

得られた値は対数の定義域を満たし、 $$15\cdot2^{2\cdot3}-2^{2\cdot5}=15\cdot64-1024=-64,$$ また $$\log_2(3+1)-\log_2(5+3)=2-3=-1$$ を満たす。途中の変形は定義域条件のもとで同値であり、二次方程式の正の解は $t=64$ だけなので、これが唯一の解である。

使用解法

対数の性質、指数法則、置換による二次方程式。