14奈良県立医科大学 2015年 数学 第14問解答・解説

Q14　極限値

解答

$$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x-\sin(\tan x)}{x-\tan x}=1$$

計算過程

差の公式 $$\displaystyle \sin A-\sin B =2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$ に $A=x,\ B=\tan x$ を代入する。$x\ne0$ として $$\displaystyle \frac{\sin x-\sin(\tan x)}{x-\tan x} = \cos\frac{x+\tan x}{2}\, \frac{\sin\left(\frac{x-\tan x}{2}\right)} {\frac{x-\tan x}{2}}.$$ $x\to0$ のとき $\tan x\to0$ なので、 $$\displaystyle \frac{x+\tan x}{2}\to0,\qquad \frac{x-\tan x}{2}\to0.$$ 基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$ と余弦関数の連続性から、 $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\cos\frac{x+\tan x}{2}=1,\qquad \lim\limits _{x\to0} \frac{\sin\left(\frac{x-\tan x}{2}\right)} {\frac{x-\tan x}{2}}=1.$$ したがって積の極限は $1$ である。

定義域・確認

$\tan x$ は $x=0$ の近くで定義される。分母について、$g(x)=\tan x-x$ とおくと $$\displaystyle g'(x)=\frac{1}{\cos^2x}-1=\tan^2x.$$ $x=0$ 以外では $\tan^2x>0$ なので、$g(0)=0$ と合わせて $g(x)\ne0$（十分小さい $x\ne0$）である。よって上の変形は極限をとる範囲で有効である。

使用解法

正弦の差の公式、基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$、積の極限。