1奈良県立医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

A_Q1 — MM-4bfc8dc70e4b-Q1

問題 三辺の長さがそれぞれ次の三角形のうち、鈍角三角形をすべて選ぶ。

- ア：$10,13,16$ - イ：$8,9,4$ - ウ：$2,3,4$ - エ：$7,8,5$ - オ：$3,4,5$

解答・計算過程 三辺を小さい順に $a\le b\le c$ とすると、$c$ の対角が最大角である。余弦定理より、その角を $C$ とすれば $$\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$ したがって、三角形が鈍角三角形であるための必要十分条件は $c^2>a^2+b^2$ である。各組は三角形の成立条件も満たすことを確認し、比較する。

- ア：$10+13>16$、かつ $16^2=256<10^2+13^2=269$。最大角は鋭角なので鈍角三角形ではない。 - イ：$8+4>9$、かつ $9^2=81>8^2+4^2=80$。鈍角三角形である。 - ウ：$2+3>4$、かつ $4^2=16>2^2+3^2=13$。鈍角三角形である。 - エ：$7+5>8$、かつ $8^2=64<7^2+5^2=74$。最大角は鋭角なので鈍角三角形ではない。 - オ：$3+4>5$、かつ $5^2=3^2+4^2=25$。直角三角形であり、鈍角三角形ではない。

よって該当するものは $\boxed{\text{イ、ウ}}$。

使用解法・範囲 余弦定理による最大角の判定。高校数学の範囲。