1佐賀大学 2021年 数学 第1問解答・解説

まず $\cos B=3/4$ で $0<B<\pi$ より $$\displaystyle \sin B=\sqrt{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{\sqrt7}{4}.$$

(1) $BC=a$ とおく。角 $B$ に対する余弦定理より $$\displaystyle 4^2=6^2+a^2-2\cdot6\cdot a\cdot\frac34, \qquad (a-4)(a-5)=0.$$ したがって $a=4$ または $a=5$。3辺 $6,4,4$ は $4+4>6$、3辺 $6,5,4$ は $4+5>6$ を満たし、どちらも三角形を作る。よって $$\boxed{BC=4\text{ または }5}.$$

(2) 角 $C$ に対する余弦定理を使う。$BC=4$ の場合は $$\displaystyle \cos C=\frac{4^2+4^2-6^2}{2\cdot4\cdot4}=-\frac18<0,$$ したがって $C$ は鈍角である。$BC=5$ の場合は $$\displaystyle \cos C=\frac{5^2+4^2-6^2}{2\cdot5\cdot4}=\frac18>0,$$ よって $C$ は鋭角であり、条件を満たすのはこちらである。このとき $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B =\frac12\cdot6\cdot5\cdot\frac{\sqrt7}{4} =\boxed{\frac{15\sqrt7}{4}}.$$

(3) 以下、$AB=6,\ BC=5,\ CA=4$、面積 $K=15\sqrt7/4$ とする。正弦定理 $2R=CA/\sin B$ から $$\displaystyle R=\frac{4}{2(\sqrt7/4)}=\frac8{\sqrt7}=\boxed{\frac{8\sqrt7}{7}}.$$ 半周長は $s=(6+5+4)/2=15/2$ で、$K=rs$ より $$\displaystyle r=\frac{K}{s}=\frac{15\sqrt7/4}{15/2}=\boxed{\frac{\sqrt7}{2}}.$$