4佐賀大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) まず導関数は $f'(x)=-3x^2+4$ である。接点の座標と傾きを接線の式 $y=f(t)+f'(t)(x-t)$ に代入すると、$\ell:\ y=(4-3t^2)x+2t^3$ を得る。式に $x=t$ を入れれば f(t) に戻ることも確認できる。

(2) $t\le x\le2$ では $x>0$ と $4-x^2\ge0$ が成り立つため $f(x)=x(4-x^2)\ge0$ であり、S1はグラフとx軸の間の定積分である。原始関数 $\displaystyle -\frac{x^4}{4}+2x^2$ を端点で評価すると $\displaystyle S_1(t)=4+\frac{t^4}{4}-2t^2=\frac{(t^2-4)^2}{4}$。

(3) 接線の高さ−曲線の高さは $x^3-3t^2x+2t^3=(x-t)^2(x+2t)$。区間$0\le x\le t$では右辺が0以上なので、この積分が指定領域の面積になる。積分すると $\displaystyle S_2(t)=\frac{t^4}{4}-\frac{3t^4}{2}+2t^4=\frac{3t^4}{4}$。

(4) 和は $S(t)=t^4-2t^2+4=(t^2-1)^2+3$。平方の最小値は0であり、等号条件$t^2=1$は$0<t<2$の範囲で$t=1$に限られる。よって最小値は3、達成時のtは1。

採用済み解答の数学的点検では、全4小問の結論が一致した。原答案のS1符号確認、接線と曲線の因数分解および上下関係、S2積分、最小化はいずれも正しい。原答案は微分による増減も示しているが、平方完成だけでも等号条件と開区間内での達成を直接確認できる。