4群馬大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\frac12(x^2-1)$ とおくと $f'(a)=a$。点 $A$ における接線は $$\displaystyle y-\frac{a^2-1}{2}=a(x-a),\qquad \ell:y=ax-\frac{a^2+1}{2}.$$

(2) $\ell$ の方向角を $\phi$ とすると $\tan\phi=a$。$x=a$ は鉛直線であり、$0<\theta<\pi/2$ より $\theta=\pi/2-\phi$。従って $\tan\theta=1/a$。

(3) 求める直線の方向角は、$\phi\pm\theta$ のうち $x=a$ でない方、すなわち $\phi-\theta$。傾きは $$\displaystyle \tan(\phi-\theta)=\tan(2\phi-\pi/2)=\frac{a^2-1}{2a}.$$ これが $A$ を通るので $$\displaystyle y-\frac{a^2-1}{2}=\frac{a^2-1}{2a}(x-a),\qquad y=\frac{a^2-1}{2a}x.$$

微分で接線を出す。接線の方向角と鉛直線との角からtanθを求め、もう一方の許される方向角を使って別直線を決める。