2東京医科歯科大学 2014年 数学 第2問解答・解説

$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とおく。条件から $0<c<1$、$0<s<1$、$c^2+s^2=1$ である。

まず、平面 $y=0$ は辺 $AB,AC,BD,CD$ の中点と交わり、その座標は $$(0,0,s),\quad(c,0,0),\quad(-c,0,0),\quad(0,0,-s)$$ である。切り口の対角線は長さ $2s$、$2c$ で垂直だから $$\displaystyle S(\theta)=\frac12(2s)(2c)=2cs=\sin2\theta.$$

次に、底面を $\triangle ABC$ として四面体の体積を求める。辺の長さは $$|AB|=2\sqrt2c,\qquad |AC|=|BC|=2.$$ したがって、底辺 $AB$ に対する高さは $$\sqrt{2^2-(\sqrt2c)^2}=\sqrt{2(1+s^2)},$$ 底面積は $[ABC]=2c\sqrt{1+s^2}$ である。

$\overrightarrow{AB}=(-2c,-2c,0)$、$\overrightarrow{AC}=(0,-2c,-2s)$ に垂直な法線ベクトルとして $\boldsymbol n=(s,-s,c)$ をとると、平面 $ABC$ は $$sx-sy+cz=cs$$ と表せる。$\boldsymbol n\cdot D=-3cs$、$|\boldsymbol n|=\sqrt{1+s^2}$ である。点 $D$ から平面への距離は、$D-A$ の単位法線方向成分の絶対値だから $$\displaystyle h_D=\frac{|\boldsymbol n\cdot D-cs|}{|\boldsymbol n|} =\frac{4cs}{\sqrt{1+s^2}}.$$ よって $$\displaystyle V(\theta)=\frac13[ABC]h_D=\frac83c^2s.$$

$\theta=\pi/6$ では $c=\sqrt3/2$、$s=1/2$ なので $$\displaystyle S\left(\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt3}{2},\qquad V\left(\frac\pi6\right)=1.$$ また、$0<2\theta<\pi$ で $S(\theta)=\sin2\theta$ だから、その最大値は $1$ である。

最後に $u=\sin\theta$ とおくと $0<u<1$、$c^2=1-u^2$ だから $$\displaystyle V(\theta)=\frac83u(1-u^2),\qquad \frac{dV}{du}=\frac83(1-3u^2).$$ これは $0<u<1/\sqrt3$ で正、$1/\sqrt3<u<1$ で負となる。したがって $u=1/\sqrt3$ で最大となり $$\displaystyle V_{\max}=\frac83\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\frac23 =\frac{16}{9\sqrt3}=\frac{16\sqrt3}{27}.$$

座標からxz平面との4つの交点を求め、直交対角線をもつ切り口の面積を出す。三角形ABCの面積と、法線方向への射影で得た高さから体積を計算し、最後に二倍角公式とu=sinθの置換で各最大値を判定する。