東京医科歯科大学 2014年数学第3問解答・解説

指数関数・対数関数極限微分法積分法

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1問題

東京医科歯科大学2014年度第3問

$a$ を正の実数、 $k$ を自然数とし、 $x>0$ で定義される関数 $\displaystyle f(x)=\int_a^{ax}\frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku}\,du$ を考える。このとき以下の各問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の増減および凹凸を調べ、 $y=f(x)$ のグラフの概形をかけ。

(2) $S$ を正の実数とするとき、 $f(p)=S$ を満たす実数 $p$ がただ1つ存在することを示せ。

(3) $\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$ とおくとき、(2) の $S,p$ について、次の不等式が成立することを示せ。 $1+bS<p<e^{bS}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad f(x)=\log x+\sqrt[k]{a}(\sqrt[k]{x}-1)\quad$ , strictly increasing and concave down. (2) For every $\quad S>0\quad$ , there is exactly one $\quad p>1\quad$ with $\quad f(p)=S\quad$ . (3) $\quad 1+bS<p<e^{bS}\quad$ , where $\quad b=k/(k+\sqrt[k]{a})\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$A=\sqrt[k]{a}>0$ とする。積分区間は $a$ から $ax$ なので $\displaystyle f(x)=\int_a^{ax}\left(\frac1u+\frac1k u^{1/k-1}\right)du=\log x+A(x^{1/k}-1).$ $f'(x)=1/x+(A/k)x^{1/k-1}>0$ 、 $f''(x)=-1/x^2+A(1-k)x^{1/k-2}/k^2<0$ 。また $f(1)=0$ 、 $f(x)\to-\infty$ as $x\to0+$ 、 $f(x)\to\infty$ as $x\to\infty$ 。従ってグラフは(1,0)を通る右上がりの上に凸な曲線。

連続性、xが大きくなると値も必ず大きくなること、および両端での値から、任意の正のSに対して方程式 $f(p)=S$ はただ1つの解 $p>1$ をもつ。

このpについて $q=p^{1/k}>1$ とおく。 $p-1=(q-1)(1+q+\cdots+q^{k-1})\ge k(q-1)$ 、かつ $\log p<p-1$ なので $S=\log p+A(q-1)<(1+A/k)(p-1)=(p-1)/b,$ 従って $1+bS<p$ 。一方 $z=(\log p)/k>0$ とすると $e^z>1+z$ より $q-1>(\log p)/k$ 。従って $S>(1+A/k)\log p=(\log p)/b$ 、すなわち $p<e^{bS}$ 。

この問題で使う考え方

定積分の計算
導関数による増減・凹凸
単調性と中間値
指数対数の基本不等式

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