山口大学 2007年数学第1問解答・解説

三角関数微分・積分の考えベクトル

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1問題

山口大学2007年度第1問配点 50点

実数 $t$ に対し、座標空間内の点 $P(\cos t,\sin 2t,\sin t\cos 2t)$ を考える。点 $O$ を原点とするとき、次の問いに答えなさい。

(1) $X=\sin^2t$ とおくとき、 $OP$ の長さを $X$ を用いて表しなさい。

(2) $OP$ の長さの最大値を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\sqrt{1+4X(1-X)^2}$ 。 (2) 最大値 $\displaystyle \frac{\sqrt{129}}{9}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$X=\sin^2t$ とおくと $0\leq X\leq1$ 、 $\cos^2t=1-X$ 、 $\sin^22t=4X(1-X)$ 、 $\cos2t=1-2X$ である。 $OP^2=\cos^2t+\sin^22t+\sin^2t\cos^22t =(1-X)+4X(1-X)+X(1-2X)^2 =1+4X(1-X)^2.$ 距離は非負なので $\boxed{OP=\sqrt{1+4X(1-X)^2}}.$

$f(X)=OP^2=1+4X(1-X)^2$ とおくと $f'(X)=4(3X-1)(X-1).$ よって $f$ は $0\leq X\leq1/3$ で増加し、 $1/3\leq X\leq1$ で減少する。端点では $f(0)=f(1)=1$ 、臨界点では $\displaystyle f\!\left(\frac13\right)=1+4\cdot\frac13\cdot\left(\frac23\right)^2=\frac{43}{27}.$ $X=1/3$ は $\sin^2t=1/3$ を満たす実数 $t$ で実現する。したがって距離の最大値は $\displaystyle \boxed{\sqrt{\frac{43}{27}}=\frac{\sqrt{129}}9}.$

この問題で使う考え方

X=sin²tによる置換
二倍角公式
導関数の符号と端点比較

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