山口大学 2007年数学第3問解答・解説

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1問題

山口大学2007年度第3問配点 50点

数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ を $\displaystyle a_1=2,\quad b_1=1,\qquad \begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定める。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) $a_{100},b_{100}$ を求めなさい。

(2) $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{100}a_k,\quad\sum\limits _{k=1}^{100}b_k$ を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

成分の漸化式は $\displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt3}{2}a_n-\frac12b_n,\qquad b_{n+1}=\frac12a_n+\frac{\sqrt3}{2}b_n.$ 三角関数の加法定理から、この操作は角 $\pi/6$ の回転である。6回で角 $\pi$ 、12回で角 $2\pi$ となるので $(a_{n+6},b_{n+6})=-(a_n,b_n),\quad(a_{n+12},b_{n+12})=(a_n,b_n).$ 成分を順に計算すると $\begin{aligned} (a_1,b_1)&=(2,1),\\ (a_2,b_2)&=(\sqrt3-1/2,1+\sqrt3/2),\\ (a_3,b_3)&=(1-\sqrt3/2,\sqrt3+1/2),\\ (a_4,b_4)&=(-1,2). \end{aligned}$ (1) $100-4=8\cdot12$ より $a_{100}=-1,b_{100}=2$ 。 (2) 連続12項は前半6項と後半6項が相殺する。 $100=8\cdot12+4$ より最初4項の和だけを計算して $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{100}a_k=\frac{3+\sqrt3}{2},\qquad\sum\limits _{k=1}^{100}b_k=\frac{3(3+\sqrt3)}2.$

この問題で使う考え方

成分乗算
加法定理
周期性

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