3信州大学 2003年 数学 第3問解答・解説

加法定理から、任意の実数 $x,h$ について $$\cos(x-h)-\cos(x+h)=2\sin x\sin h,\qquad \sin(x+h)-\sin(x-h)=2\cos x\sin h$$ が成り立つ。ここで $h=\beta/2$ とする。仮定より $\sin h\ne0$ なので、割り算ができる。

まず $x=\alpha+k\beta$ とした第1式から $$\displaystyle \sin(\alpha+k\beta)=\frac{\cos(\alpha+(k-\tfrac12)\beta)-\cos(\alpha+(k+\tfrac12)\beta)}{2\sin(\beta/2)}.$$ これを $k=0,1,\ldots,n-1$ について加えると中間項が相殺し、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\sin(\alpha+k\beta) =\frac{\cos(\alpha-\beta/2)-\cos(\alpha+(n-\tfrac12)\beta)}{2\sin(\beta/2)}.$$ $\displaystyle \cos A-\cos B=2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{B-A}{2}$ を用い、 $A=\alpha-\beta/2$, $\displaystyle B=\alpha+(n-\tfrac12)\beta$ とおけば $$\displaystyle \cos A-\cos B=2\sin\left(\alpha+\frac{(n-1)\beta}{2}\right)\sin\frac{n\beta}{2}.$$ よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\sin(\alpha+k\beta) =\frac{\sin(n\beta/2)\sin(\alpha+(n-1)\beta/2)}{\sin(\beta/2)}.$$

次に第2式から $$\displaystyle \cos(\alpha+k\beta)=\frac{\sin(\alpha+(k+\tfrac12)\beta)-\sin(\alpha+(k-\tfrac12)\beta)}{2\sin(\beta/2)}.$$ 同様に和をとれば $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\cos(\alpha+k\beta) =\frac{\sin(\alpha+(n-\tfrac12)\beta)-\sin(\alpha-\beta/2)}{2\sin(\beta/2)}.$$ ここで $\displaystyle \sin B-\sin A=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{B-A}{2}$ に $A=\alpha-\beta/2$, $\displaystyle B=\alpha+(n-\tfrac12)\beta$ を代入すると、分子は $$\displaystyle 2\cos\left(\alpha+\frac{(n-1)\beta}{2}\right)\sin\frac{n\beta}{2}$$ となる。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\cos(\alpha+k\beta) =\frac{\sin(n\beta/2)\cos(\alpha+(n-1)\beta/2)}{\sin(\beta/2)}.$$ 以上で両式が示された。