6信州大学 2003年 数学 第6問解答・解説

(1) まず、線分ACを AM:MC=1:3 に内分する点の座標は $$\displaystyle M=\left(\frac{3a+c}{4},f(a)\right).$$ 以下、$\displaystyle m=\frac{3a+c}{4}$ とおく。線分AD上で $x=m$ となる点は、AからDへ $\displaystyle \frac14$ 進んだ点なので $$\displaystyle F=\left(m,\frac34f(a)+\frac14f(c)\right),\qquad E=(b,f(b)).$$ $BN:NM=2:1$ より $\displaystyle N=\frac13B+\frac23M$。したがって $$\displaystyle t:=x_N=\frac{b+2m}{3}=\frac{3a+2b+c}{6},\qquad y_N=f(a).$$ 曲線との交点は $Q=(t,f(t))$。また $\displaystyle t=\frac13b+\frac23m$ なので、直線EF上でx座標がtの点Pは $\displaystyle P=\frac13E+\frac23F$。ゆえに $$\displaystyle P=\left(t,\frac13f(b)+\frac23\left(\frac34f(a)+\frac14f(c)\right)\right) =\left(t,\frac12f(a)+\frac13f(b)+\frac16f(c)\right).$$

(2) $x>0$ に対して $$\displaystyle f'(x)=-\frac1x,\qquad f''(x)=\frac1{x^2}>0.$$ よって曲線 $y=f(x)$ は下に凸である。

(3) $\displaystyle m=\frac34a+\frac14c$ はa,cの内点であり、$m\ne b$ は仮定 $3a+c\ne4b$ と同値である。したがって $\displaystyle t=\frac13b+\frac23m$ はb,mの間の内点である。$f^{\prime\prime}(x)>0$ より、曲線上の異なる2点を結ぶ線分は両端を除いて曲線より上にあるので $$\displaystyle f(t)<\frac13f(b)+\frac23f(m),\qquad f(m)<\frac34f(a)+\frac14f(c).$$ よって $$\displaystyle Q_y=f(t)<\frac13f(b)+\frac23f(m) <\frac13f(b)+\frac12f(a)+\frac16f(c)=P_y.$$ $f(x)=-\log x$ を代入し、対数の積の法則を使うと $$\displaystyle -\log t< -\left(\frac12\log a+\frac13\log b+\frac16\log c\right),$$ すなわち $$\log\left(a^{1/2}b^{1/3}c^{1/6}\right)<\log t.$$ 対数関数の単調増加性より $$\displaystyle a^{1/2}b^{1/3}c^{1/6}<t=\frac{3a+2b+c}{6}=\frac a2+\frac b3+\frac c6.$$