4信州大学 2003年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle x=OP>0,\quad\theta(x)=\arctan\frac{a+b}{x}-\arctan\frac{a}{x}$. $\displaystyle \theta^{\prime}(x)=\frac{a}{x^2+a^2}-\frac{a+b}{x^2+(a+b)^2}=\frac{b(a(a+b)-x^2)}{(x^2+a^2)(x^2+(a+b)^2)}$. $b>0$ より $\theta$ は $0<x<\sqrt{a(a+b)}$ で増加し、その後減少する。 $\therefore\quad OP=\sqrt{a(a+b)}$.

$x=OP>0$とおく。棒の上下端はOからそれぞれ高さa,a+bにあるので、角度$\theta(x)=\angle BPA$は $\displaystyle \arctan\frac{a+b}{x}-\arctan\frac ax$。微分すると $\displaystyle \theta^{\prime}(x)=\frac{b(a(a+b)-x^2)}{(x^2+a^2)(x^2+(a+b)^2)}$。$b>0$よりθ′は$x<\sqrt{a(a+b)}$で正、$x>\sqrt{a(a+b)}$で負。さらに$x\to0^+$と$x\to\infty$で$\theta(x)\to0$だから、最大となるのは $x=\sqrt{a(a+b)}$。したがって $OP=\sqrt{a(a+b)}$。数学解は確定したが、独立した表紙に大学・学部表記がなく医学部対象か確認できないため、対象確認は保留。