1信州大学 2003年 数学 第1問解答・解説

与えられた式を整理すると $$a_n=2a_{n+1}(1+n a_n).$$ (1) $a_1=1>0$。$a_n>0$ と仮定すると $1+n a_n>0$ であり、 $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2(1+n a_n)}>0.$$ よって帰納法により、すべての自然数 $n$ で $a_n>0$。

(2) 正値性から $b_n=1/a_n$ が定義できる。元の式を $a_na_{n+1}$ で割ると $$\displaystyle \frac1{a_{n+1}}-\frac2{a_n}=2n,$$ したがって $b_1=1,\quad b_{n+1}=2b_n+2n$。

(3) $b_n=5\cdot2^{n-1}-2n-2$ は初項と漸化式を満たす。従って $$\displaystyle a_n=\frac1{b_n}=\frac1{5\cdot2^{n-1}-2n-2}.$$

まず元の漸化式を整理して$a_n>0$から$a_{n+1}>0$を導き、帰納法で逆数$b_n$が常に定義できることを確認する。逆数を取ると一次漸化式となり、その解の初項・推移を代入検算して一般項を得る。