2徳島大学 2003年 数学 第2問解答・解説

(1) $\displaystyle x=a+\frac1a$ とおく。漸化式より $f_2(x)=x^2-2$, $f_3(x)=x f_2(x)-f_1(x)=x^3-3x$ である。したがって $$\displaystyle c_1=x=a+\frac1a,\qquad c_2=x^2-2=a^2+\frac1{a^2},$$ また $$\displaystyle c_3=x^3-3x=(a+\tfrac1a)(a^2+\tfrac1{a^2})-(a+\tfrac1a)=a^3+\frac1{a^3}.$$

(2) 以下、便宜上 $c_0=f_0(x)=2$ とおく。$\displaystyle c_1=a+\frac1a$ であり、$n\ge2$ では定義から $$\displaystyle c_n=(a+\tfrac1a)c_{n-1}-c_{n-2}.$$ ここで $\displaystyle d_n=a^n+\frac1{a^n}$ とおくと、$d_0=2=c_0$, $\displaystyle d_1=a+\frac1a=c_1$ である。また $n\ge2$ について $$\displaystyle \begin{aligned}(a+\tfrac1a)d_{n-1}-d_{n-2}&=(a+\tfrac1a)(a^{n-1}+a^{-(n-1)})-(a^{n-2}+a^{-(n-2)})\&=a^n+a^{-n}=d_n.\end{aligned}$$ よって $d_n$ も同じ漸化式を満たす。初期値が一致するので、数学的帰納法により $c_n=d_n$。したがって $\displaystyle c_n=a^n+\frac1{a^n}$（$n=1,2,3,\ldots$）。$a\ne0$ なのでこの式はすべての許された $a$ で定義される。

(3) (2)より $$c_n^2=(a^n+a^{-n})^2=a^{2n}+2+a^{-2n}=c_{2n}+2,$$ したがって $c_{2n}=c_n^2-2$。

(4) $f_0(3)=2$, $f_1(3)=3$ から、漸化式を順に用いると $$f_2(3)=7,\ f_3(3)=18,\ f_4(3)=47,\ f_5(3)=123,\ f_6(3)=322,$$ $$f_7(3)=843,\ f_8(3)=2207,\ f_9(3)=5778,\ f_{10}(3)=15127,\ f_{11}(3)=39603,$$ $$f_{12}(3)=3f_{11}(3)-f_{10}(3)=3\cdot39603-15127=103682.$$