2神戸大学 2004年 数学 第2問解答・解説

$$\alpha=\cos 72^\circ+i\sin 72^\circ.$$ ド・モアブルの定理により、整数 m について $\alpha^m=\cos(72m^\circ)+i\sin(72m^\circ)$ となる。したがって $\alpha^m=1$ となるのは $5\mid m$ のときに限る。 まず、漸化式から数学的帰納法により、すべての n=1,2,$\ldots$,100 について $$z_n=\alpha^{3^{n-1}}$$ である。実際、n=1 では成り立ち、n で成り立つとすると $$z_{n+1}=z_n^3=(\alpha^{3^{n-1}})^3=\alpha^{3^n}$$ となる。 (1) $$z_5=\alpha^{3^4}=\alpha^{81}=\alpha^{5\cdot16+1}=\alpha.$$ (2) $$z_n=\alpha \text{であるための必要十分条件は} \alpha^{3^{n-1}-1}=1 \text{、すなわち} 5\mid(3^{n-1}-1).$$ 3 の累乗を 5 で割った余りは、指数が 0,1,2,3 のときそれぞれ 1,3,4,2 であり、$3^4\equiv1\pmod5$ だからこの並びを4ごとに繰り返す。余りが1となるのは n-1 が4の倍数のときである。よって n=1+4j（j=0,1,$\ldots$,24）であり、該当する n は 25 個。 (3) $z_n$ の値は $$\alpha,\alpha^3,\alpha^4,\alpha^2$$ を4項ごとに繰り返す。また $$1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0$$ なので、4項の和は $$\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=-1.$$ 100項はこの並び25回分であるから、 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{100}z_n=25(-1)=-25.$$