神戸大学 2004年数学第5問解答・解説

1問題

神戸大学2004年度第5問

次のようなゲームを考える。下のように1から9の数字が書かれている表を用意する。 $\begin{array}{|c|c|c|}\hline 5&2&8\\\hline 1&9&3\\\hline 7&4&6\\\hline\end{array}$ 一方，9枚のカードがあり1から9までの数字が1つずつ書かれている。これらのカードをよくまぜ，順に並べる。カードを並べた順に見て，カードに書いてある数字を表から消し，かわりに $\ast$ 印を書き込む。この表で縦，横あるいは斜めのいずれかに $\ast$ 印が3つはじめて並んだ時，その時点で表にある $\ast$ 印の個数を得点とする。例えば，最初の4枚のカードが，順に5，4，6，9であれば，以下のように変化する。 $\begin{array}{cccc} \begin{array}{|c|c|c|}\hline \ast&2&8\\\hline 1&9&3\\\hline 7&4&6\\\hline\end{array}& \begin{array}{|c|c|c|}\hline \ast&2&8\\\hline 1&9&3\\\hline 7&\ast&6\\\hline\end{array}& \begin{array}{|c|c|c|}\hline \ast&2&8\\\hline 1&9&3\\\hline 7&\ast&\ast\\\hline\end{array}& \begin{array}{|c|c|c|}\hline \ast&2&8\\\hline 1&\ast&3\\\hline 7&\ast&\ast\\\hline\end{array} \end{array}$ その結果， $\ast$ 印がはじめて3つ並んだ。このとき，得点は4である。次の問に答えよ。（配点30点）　 (1) このゲームで起こり得る最小の得点を求めよ。また，得点が最小となる確率を求めよ。　 (2) このゲームで起こり得る最大の得点を求めよ。また，得点が最大となる確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\space{}3,\space{}\Pr=\frac2{21};$
$\displaystyle (2)\space{}7,\space{}\Pr=\frac1{42}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{各マスに書かれた数字がカード列に現れる位置を }r(v)\text{ とする。8本の勝ち筋 }L\text{ について、得点は }T=\min\limits _L\max\limits _{v\text{ が }L\text{ 上のマス}}r(v)\text{ である。}\text{(1) 3個未満では勝ち筋を完成できないので最小得点は3。得点3となるのは最初の3個の数字集合が8本のいずれかの勝ち筋そのもののとき。}\binom93=84\text{ 個の3集合は等確率で、勝ち筋は8集合だから確率は }\frac8{84}=\frac2{21}。\text{(2) 7個の印があって勝ち筋がないと仮定すると、残る2マスが8本すべての勝ち筋に含まれなければならない。中央は4本、隅は3本、辺中央は2本に属するので、2マスでは8本すべてを覆えず不可能。従って得点は高々7。}\text{6個で勝ち筋のない例は、未印の3マスを対角線のいずれかにする配置であり、得点7は実現する。}\text{得点7となるには最初の6数字の集合に勝ち筋がないことが必要十分。未印の3マスは各行・各列を1つずつ覆い、両対角線にも当たる必要がある。これを満たすのは2本の対角線の2通りだけ。}\text{よって最初の6数字集合は }\binom96=84\text{ 通り中2通りで、確率は }\frac2{84}=\frac1{42}。$

この問題で使う考え方

得点を勝ち筋ごとのカード出現位置の最大値の最小として表す。最初のk数字集合で勝ち筋を避ける組合せを数える。

1問題

2答え

3解答

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