5九州大学 2004年 数学 第5問解答・解説

左端の色と、隣り合う電球の色が変わる境目を指定すれば、全体の並びがただ一つ定まる。境目は $n-1$ 個あり、全 $2^n$ 通りの色の並びは同様に確からしい。 (1) 左端を赤に固定し、変化する境目を一つ選ぶので $n-1$ 通り。従って $$\displaystyle \boxed{\frac{n-1}{2^n}}.$$ (2) 変化が0回の並びは2通り、1回の並びは $2(n-1)$ 通りだから、余事象を用いて $$\displaystyle \boxed{1-\frac{2+2(n-1)}{2^n}=1-\frac{n}{2^{n-1}}}.$$ (3) 変化がm回の並びは、左端の色2通りと境目m個の選び方で数えられる。 $$\displaystyle \boxed{P(m\text{回変化})=\frac{2\binom{n-1}{m}}{2^n}=\frac{\binom{n-1}{m}}{2^{n-1}}}\quad(0\le m\le n-1).$$ (4) $\displaystyle m\binom{n-1}{m}=(n-1)\binom{n-2}{m-1}$ は階乗の定義から分かる。従って二項定理を使い、 $$\displaystyle \begin{aligned} E&=\frac1{2^{n-1}}\sum\limits _{m=1}^{n-1}m\binom{n-1}{m}\\ &=\frac{n-1}{2^{n-1}}\sum\limits _{j=0}^{n-2}\binom{n-2}{j} =\boxed{\frac{n-1}{2}}. \end{aligned}$$