1九州大学 2004年 数学 第1問解答・解説

準備。　 $$\displaystyle I_n=\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^2 x^n e^x\,dx \quad(n=0,1,2,\ldots),\qquad 0!=1$$ とする。

(1)　 $$\displaystyle I_0=\int_0^2 e^x\,dx=[e^x]_0^2=e^2-1.$$ $n\ge1$ のとき、部分積分により $$\displaystyle \int_0^2 x^n e^x\,dx =[x^n e^x]_0^2-n\int_0^2 x^{n-1}e^x\,dx =2^n e^2-n\int_0^2 x^{n-1}e^x\,dx.$$ 両辺に $\displaystyle \frac{(-1)^n}{n!}$ を掛けると $$\displaystyle \begin{aligned} I_n &=\frac{(-1)^n2^n}{n!}e^2 -\frac{(-1)^n}{(n-1)!}\int_0^2x^{n-1}e^x\,dx\\ &=\frac{(-1)^n2^n}{n!}e^2 +\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\int_0^2x^{n-1}e^x\,dx. \end{aligned}$$ 右辺の第2項は $I_{n-1}$ に一致するから、 $$\displaystyle \boxed{I_n=I_{n-1}+(-1)^n\frac{2^n}{n!}e^2} \qquad(n=1,2,\ldots).$$ この関係式を順に用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned} I_1 &=I_0+(-1)\cdot\frac{2}{1!}e^2 =(e^2-1)-2e^2=-e^2-1,\\ I_2 &=I_1+\frac{2^2}{2!}e^2 =(-e^2-1)+2e^2=e^2-1,\\ I_3 &=I_2+(-1)\cdot\frac{2^3}{3!}e^2 =(e^2-1)-\frac43e^2=-\frac13e^2-1. \end{aligned}$$ （検算： $$\displaystyle \int_0^2x^3e^x\,dx =[e^x(x^3-3x^2+6x-6)]_0^2 =2e^2-(-6)=2e^2+6$$ より $$\displaystyle \begin{aligned} I_3 &=-\frac1{3!}(2e^2+6) =-\frac{2e^2+6}{6} =-\frac{e^2+3}{3} =-\frac13e^2-1 \end{aligned}$$ となり一致する。）

(2)　 $n=1,2,\ldots$ とする。$0\le x\le2$ で $e^x\le e^2$ かつ $x^n\ge0$ であるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^2x^ne^x\,dx &\le e^2\int_0^2x^n\,dx\\ &=e^2\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^2 =e^2\cdot\frac{2^{n+1}}{n+1}. \end{aligned}$$ 両辺を $n!$ で割ると、 $$\displaystyle \frac1{n!}\int_0^2x^ne^x\,dx \le e^2\cdot\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}. \qquad(*)$$ そこで $$\displaystyle a_n=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$$ とおき、$\displaystyle a_n\le2\left(\frac23\right)^{n-1}$（$n=1,2,\ldots$）を数学的帰納法で示す。

[i] $n=1$ のとき、 $$\displaystyle a_1=\frac{2^2}{2!}=2,\qquad 2\left(\frac23\right)^0=2$$ より $\displaystyle a_1=2\left(\frac23\right)^0$ なので成り立つ。

[ii] ある $n\ (\ge1)$ で $\displaystyle a_n\le2\left(\frac23\right)^{n-1}$ が成り立つとする。 $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{2^{n+2}/(n+2)!}{2^{n+1}/(n+1)!} =\frac{2}{n+2}$$ であり、$n\ge1$ より $n+2\ge3$ なので $$\displaystyle \frac{2}{n+2}\le\frac23.$$ $a_n>0$ であるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1} &=a_n\cdot\frac{2}{n+2} \le a_n\cdot\frac23\\ &\le2\left(\frac23\right)^{n-1}\cdot\frac23 =2\left(\frac23\right)^n. \end{aligned}$$ よって $n+1$ でも成り立ち、数学的帰納法により、すべての $n=1,2,\ldots$ で $$\displaystyle a_n=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \le2\left(\frac23\right)^{n-1}. \qquad(**)$$ (*) と (**) を合わせると、 $$\displaystyle \frac1{n!}\int_0^2x^ne^x\,dx \le e^2\cdot\frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \le2e^2\left(\frac23\right)^{n-1} \qquad(n=1,2,\ldots)$$ が示された。 ■

(3)　 $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=0}^n\frac{(-1)^k2^k}{k!}$$ とおく。$k=0$ の項は $1$ であり、$k\ge1$ については (1) の関係式 $$\displaystyle I_k-I_{k-1}=(-1)^k\frac{2^k}{k!}e^2 \quad\text{すなわち}\quad \frac{(-1)^k2^k}{k!}=\frac{I_k-I_{k-1}}{e^2}$$ が成り立つから、$n\ge1$ のとき $$\displaystyle \begin{aligned} S_n &=1+\sum\limits _{k=1}^n\frac{I_k-I_{k-1}}{e^2} =1+\frac1{e^2}\sum\limits _{k=1}^n(I_k-I_{k-1})\\ &=1+\frac{I_n-I_0}{e^2} \quad\text{（途中の項が相殺されることを用いた）}\\ &=1+\frac{I_n-(e^2-1)}{e^2} =\frac{I_n+1}{e^2}. \end{aligned}$$ （$n=0$ のときも $$\displaystyle S_0=1=\frac{I_0+1}{e^2} =\frac{e^2}{e^2}=1$$ で一致する。）

ここで、(2) で示した不等式より $$\displaystyle 0\le|I_n| =\frac1{n!}\int_0^2x^ne^x\,dx \le2e^2\left(\frac23\right)^{n-1} \qquad(n=1,2,\ldots).$$ $\displaystyle 0<\frac23<1$ であるから、$n\to\infty$ のとき $$\displaystyle \left(\frac23\right)^{n-1}\to0$$ となり、はさみうちの原理により $I_n\to0$。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n\to\infty}S_n &=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{I_n+1}{e^2} =\frac{0+1}{e^2} =\frac1{e^2} =e^{-2}. \end{aligned}$$ 以上より、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=0}^n\frac{(-1)^k2^k}{k!} =e^{-2}.$$