4九州大学 2004年 数学 第4問解答・解説

$A=(a,b,0)$ が $S$ 内より $0\le b\le a\le1$、$A\ne O$ より $a>0$。また $B=(c,0,d)$ について $0\le c,d\le1$。

(1) $\vec n=(x,y,z)$ を $OA,OC$ に垂直とすると $ax+by=0$、$x+y+z=0$。これを解けば $\vec n$ は $(b,-a,a-b)$ に平行であり、長さの二乗は $2(a^2-ab+b^2)$。従って $$\displaystyle \vec n=\pm\frac{(b,-a,a-b)}{\sqrt{2(a^2-ab+b^2)}}.$$ $OB=(c,0,d)$ との内積の絶対値は $|bc+(a-b)d|/\sqrt{2(a^2-ab+b^2)}$。条件から分子は非負なので、絶対値を外せる。

(2) $OA$ を底辺とみると $|OA|=\sqrt{a^2+b^2}$。点 $C$ を直線 $OA$ に正射影した点を $H$ とすると、$OH=((a+b)/(a^2+b^2))OA$ だから $CH^2=|OC|^2-|OH|^2=3-(a+b)^2/(a^2+b^2)$。よって $$\displaystyle [OAC]^2=\frac14|OA|^2CH^2=\frac{3(a^2+b^2)-(a+b)^2}{4}=\frac{a^2-ab+b^2}{2}.$$ (1)の法線方向の高さと掛けて $V=[OAC]\,|n\cdot OB|/3=(bc+(a-b)d)/6$。

(3) $F=bc+(a-b)d\le b+(a-b)=a\le1$ なので $V\le1/6$。等号は $a=1$ と $bc=b$, $(1-b)d=1-b$ の同時成立に限る。$0<b<1$ なら $c=d=1$。$b=0$ なら $d=1$ で $c$ は任意、$b=1$ なら $c=1$ で $d$ は任意。これで等号成立点をすべて得る。