北海道大学 2004年数学第4問解答・解説

ベクトル微分・積分の考え

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1問題

北海道大学2004年度第4問

$a, b$ を正の実数とする。空間内の2点A(0, a, 0), B(1, 0, b)を通る直線を $\ell$ とする。直線 $\ell$ を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる図形をMとする。

(1) x 座標の値が t であるような直線 $\ell$ 上の点 P の座標を求めよ。

(2) 図形 M と xy 平面が交わって得られる図形の方程式を求めよ。

(3) 図形 M と 2 つの平面 x = 0 と x = 1 で囲まれた立体の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $P=(t,a(1-t),bt)$ . (2) $y^2=a^2(1-x)^2+b^2x^2$ . (3) $\displaystyle V=\frac{\pi(a^2+b^2)}{3}$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$P(t)=(t,a(1-t),bt)$ である。断面の半径の2乗は $\rho(x)^2=a^2(1-x)^2+b^2x^2$ なので、 $M$ と $xy$ 平面（ $z=0$ ）との交わりは $y^2=a^2(1-x)^2+b^2x^2$ で表される。体積は $\displaystyle V=\pi\int_0^1\rho(x)^2dx=\frac{\pi(a^2+b^2)}{3}$ である。

この問題で使う考え方

直線の媒介表示
回転断面
定積分

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